Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
t y^prime(t)-2 y(t)=1t,(t>0)

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
t,y'(t)-2,y(t)=1t,
o que envolve usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro a gente coloca a equação na forma padrão y'+P(t)y=Q(t). Dividindo tudo por t (lembrando que t>0) temos
y'(t)-2t,y(t)=1t^2

Passo 3

Em uma equação y'+P(t)y=Q(t), o fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)
Aqui P(t)=-2/t, então
mu(t)=expl(integral -2t,dtr)=exp(-2ln t)=t^-2

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(t)=t^-2. O lado esquerdo vira a derivada de t^-2y:
t^-2y'(t)-2t^-3y(t)=t^-4
que é
ddtl(t^-2y(t)r)=t^-4

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(t^-2y(t)r),dt=integral t^-4,dt
t^-2y(t)=-13t^-3+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim isolamos y(t):
y(t)=t^2l(-13t^-3+Cr)=-13t+C,t^2
Essa é a solução geral da equação.

Resposta

y(t)=C,t^2-13t, onde C é constante arbitrária.

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