Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial:
y^prime(t)-y(t)=t^2 com y(0)=4

Passo 1

Nesse exercício, temos uma EDO linear de primeira ordem: y'(t)-y(t)=t^2 com condição inicial y(0)=4. O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y'+p(t)y=g(t), aqui p(t)=-1 e g(t)=t^2. Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt=e^-t. Multiplicamos ambos os lados da EDO por mu(t). Assim,
e^-ty' - e^-ty = t^2 e^-t,
e reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto ddtl(e^-tyr). Logo,
ddtl(e^-tyr)=t^2e^-t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^-ty = integral t^2e^-t,dt + C

Passo 4

Calculamos integral t^2e^-t,dt por partes: primeiro
integral t^2e^-t,dt = -t^2e^-t + 2integral t e^-t,dt,
e depois
integral t e^-t,dt = - (t+1)e^-t

Passo 5

Portanto
integral t^2e^-t,dt = -(t^2+2t+2)e^-t + K Substituindo em e^-ty, temos
e^-ty = -(t^2+2t+2)e^-t + C

Passo 6

Multiplicando por e^t para isolar y, obtemos
y = -l(t^2+2t+2r) + Ce^t Por fim, aplicamos y(0)=4:
4 = -2 + C implies C=6

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y(t)=6e^t - t^2 - 2t - 2.

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