Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial:
y^prime(t)+y(t) e^t=-2 e^t com y(0)=1 / e

Passo 1

O problema é um EDO linear de primeira ordem: temos y'(t)+e^t,y(t)=-2e^t com condição inicial y(0)=1/e. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos de p(t)=e^t e q(t)=-2e^t.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral e^t,dtr)=expl(e^tr)=e^e^t. Esse fator faz com que o lado esquerdo da EDO vire a derivada de ymu.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(t) e obtemos
e^e^ty'(t)+e^e^te^t y(t)=-2e^t e^e^t
Reconhecemos que a esquerda é ddtl(y(t)e^e^tr).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
ddtl(y e^e^tr)=-2e^t e^e^t implies y e^e^t=integral -2e^t e^e^tdt +C
Fazendo u=e^e^t temos du=e^t e^e^tdt, então
integral -2e^t e^e^tdt=integral -2,du=-2u=-2e^e^t
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y e^e^t=-2e^e^t+C

Passo 5

Despejamos y(t):
y(t)=-2 +C e^-e^t

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=1/e:
y(0)=-2+Ce^-e^0=-2+Ce^-1=1/e
Então
Ce^-1=1/e+2implies C=el(1/e+2r)=1+2e

Resposta

A solução do PVI é y(t)=-2+(1+2e),e^-e^t.

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