Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
usando o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
. Dividindo toda a equação por
(assumindo
e
) obtemos
Passo 3
Em seguida calculamos o fator integrante
. Aqui
então
$$\mu(t)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{t\ln(t)},dt\Bigr)=\exp\bigl(\ln(\ln(t))\bigr)=\ln(t).
$$
Passo 4
Multiplicamos agora a equação padrão pelo fator integrante
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
e o lado direito é
Assim chegamos a
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
Passo 6
Por fim isolamos
:
Resposta
A solução geral é
, com constante arbitrária
.