Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
t ln (t) cdot r^prime(t)+r(t)=t e^t

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
tln(t),r'(t) + r(t) = t,e^t,
usando o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão r'(t) + p(t),r(t) = g(t). Dividindo toda a equação por tln(t) (assumindo t>0 e tneq1) obtemos
r'(t) + 1tln(t),r(t) = e^tln(t)

Passo 3

Em seguida calculamos o fator integrante mu(t)=expl(integral p(t),dtr). Aqui
p(t)=1tln(t),
então
$$\mu(t)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{t\ln(t)},dt\Bigr)=\exp\bigl(\ln(\ln(t))\bigr)=\ln(t).
$$

Passo 4

Multiplicamos agora a equação padrão pelo fator integrante ln(t). O lado esquerdo vira derivada do produto:
ln(t),r'(t) + ln(t)tln(t),r(t)=ddtl(ln(t),r(t)r),
e o lado direito é
ln(t)cdote^tln(t)=e^t
Assim chegamos a
ddtl(ln(t),r(t)r)=e^t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
ln(t),r(t)=integral e^t,dt=e^t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Por fim isolamos r(t):
r(t)=e^t + Cln(t) = e^tln(t) + Cln(t)

Resposta

A solução geral é r(t)=dfrace^tln(t) + dfracCln(t), com constante arbitrária C.

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