Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
y^prime(t) cos t+y(t) sin t=1(-pi2

Passo 1

A equação dada é y'(t)cos t + y(t)sin t = 1 no intervalo -tfracpi2. Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar colocar na forma padrão y'+p(t)y=g(t) e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por cos t (que é não nulo no intervalo dado), obtemos a forma padrão:
y'(t)+y(t)tan t=sec t
Aqui p(t)=tan t e g(t)=sec t.

Passo 3

O fator integrante mu(t) é dado por e^integral p(t),dt=e^integraltan t,dt. Como integraltan t,dt=-ln|cos t|, vem
mu(t)=e^-ln|cos t|=1cos t=sec t

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=sec t, a gente tem:
sec t,y'(t)+sec ttan t,y(t)=sec^2 t
O lado esquerdo vira a derivada do produto sec t,y(t), portanto
ddtl(sec t,y(t)r)=sec^2 t

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
sec t,y(t)=integralsec^2 t,dt=tan t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y(t):
y(t)=cos t,(tan t + C)=sin t + Ccos t
Esse é o formato da solução geral.

Passo 7

No fim das contas, a gente encontra que a solução geral da EDO é
y(t)=sin t + Ccos t,
com CinR.

Resposta

y(t)=sin t + Ccos t, CinR.

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