Utilize manipulações algébricas para calcular os limites abaixo.
(d) lim (x, y, z) (0,0,0) x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2+1-1.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y, z) (0,0,0) x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2+1-1. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em várias variáveis e envolve manipulações algébricas para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de álgebra e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos chamar r^2 = x^2 + y^2 + z^2. Assim, quando (x, y, z) (0,0,0), temos que r 0. Substituindo na expressão original, ficamos com:
r^2raizr^2 + 1 - 1

Passo 3

Agora, nossa expressão ficou mais simples:
r^2raizr^2 + 1 - 1
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando r 0. Para facilitar, vamos manipular algebricamente o denominador.

Passo 4

Vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador, que é raizr^2 + 1 + 1. Fazendo isso, temos:
r^2 cdot (raizr^2 + 1 + 1)(raizr^2 + 1 - 1)(raizr^2 + 1 + 1)

Passo 5

No denominador, usamos a diferença de quadrados:
(raizr^2 + 1)^2 - 1^2 = r^2 + 1 - 1 = r^2
Então, a expressão simplifica para:
r^2 cdot (raizr^2 + 1 + 1)r^2 = raizr^2 + 1 + 1

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite diretamente substituindo r 0:
raiz0 + 1 + 1 = 1 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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