Utilize manipulações algébricas para calcular os limites abaixo.
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em várias variáveis e envolve manipulações algébricas para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de álgebra e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos chamar
. Assim, quando
, temos que
. Substituindo na expressão original, ficamos com:
Passo 3
Agora, nossa expressão ficou mais simples:
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando
. Para facilitar, vamos manipular algebricamente o denominador.
Passo 4
Vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador, que é
. Fazendo isso, temos:
Passo 5
No denominador, usamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão simplifica para:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite diretamente substituindo
:
Resposta
O limite é igual a
.