Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial:
y^prime(t)+t y(t)=5 t com y(2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI linear de 1ª ordem
Conteúdo: equação diferencial linear da forma y'(t)+p(t)y(t)=g(t).
Vamos precisar do fator integrante para achar a solução geral e depois impor y(2)=1.

Passo 2

Para equações lineares y'+p(t)y=g(t), o fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t),dt
Aqui p(t)=t, então
mu(t)=e^integral t,dt=e^t^2/2

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^t^2/2y'+t e^t^2/2y=5t e^t^2/2
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddtl(e^t^2/2yr)=5t e^t^2/2
Integrando ambos os lados:
e^t^2/2y=integral 5t e^t^2/2,dt + C
Para calcular integral 5t e^t^2/2,dt, fazemos u=t^2/2, então du=t,dt e
integral 5t e^t^2/2,dt=5integral e^u,du=5e^u+K=5e^t^2/2+K
Assim,
e^t^2/2y=5e^t^2/2+C

Passo 4

Isolando y:
y(t)=5+Ce^-t^2/2
Agora aplicamos a condição inicial y(2)=1:
1=5+C e^-2^2/2=5+C e^-2 implies C e^-2=-4 implies C=-4e^2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t)=5-4e^2-t^2/2

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