A equação diferencial da forma
é conhecida como Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma
, em que
é uma constante arbitrária.
Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma
Passo 1
Na equação diferencial de Clairaut, temos
. Vamos encontrar uma solução geral, mostrando que ela pode ser escrita como
. Para isso, utilizaremos diferenciação implícita, a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Definimos
e, com isso, reescrevemos a equação como:
Aqui,
é função de
, ou seja,
.
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação a
: o lado esquerdo dá
. No lado direito, aplicamos a regra do produto em
e a regra da cadeia em
, obtendo
. Igualando as derivadas, temos:
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados, chegamos a:
Como o produto é zero, as possibilidades são
ou
. O caso
conduz à solução geral.
Passo 5
Se
, então
, constante arbitrária. Substituindo em
resulta em: