A equação diferencial da forma y=x y^prime+f(y^prime) é conhecida como Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma y=c x+f(c), em que c é uma constante arbitrária.

Passo 1

Na equação diferencial de Clairaut, temos y = x,y' + f(y'). Vamos encontrar uma solução geral, mostrando que ela pode ser escrita como y = c,x + f(c). Para isso, utilizaremos diferenciação implícita, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos p = y' e, com isso, reescrevemos a equação como:
y = x,p + f(p)
Aqui, p é função de x, ou seja, p = p(x).

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x: o lado esquerdo dá y' = p. No lado direito, aplicamos a regra do produto em x,p e a regra da cadeia em f(p), obtendo p + x,p' + f'(p),p'. Igualando as derivadas, temos:
p = p + x,p' + f'(p),p'

Passo 4

Subtraindo p de ambos os lados, chegamos a:
0 = (x + f'(p)),p'
Como o produto é zero, as possibilidades são p' = 0 ou x + f'(p)=0. O caso p'=0 conduz à solução geral.

Passo 5

Se p' = 0, então p = c, constante arbitrária. Substituindo em
y = x,p + f(p)
resulta em:
y = c,x + f(c)

Resposta

y = c,x + f(c)

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