Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli:
Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com equações diferenciais não lineares da forma geral:
No nosso caso,
,
, e
. Vamos usar um método específico para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear. A ideia é fazer uma substituição que simplifique a equação.
Vamos definir uma nova função
tal que:
No nosso caso, como
, fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Rearranjando essa expressão para
:
Passo 4
Substituímos
na equação original pela expressão que encontramos:
Agora, vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Lembrando que
, então
. Assim, temos:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
Agora, temos uma equação linear onde:
- Coeficiente de
é - Termo constante é
Passo 6
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Aqui,
, então:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.