Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
d yd x+1x y=x y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli:
d yd x + 1x y = x y^2
Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com equações diferenciais não lineares da forma geral:
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso, P(x) = 1x, Q(x) = x, e n = 2. Vamos usar um método específico para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear. A ideia é fazer uma substituição que simplifique a equação.
Vamos definir uma nova função v tal que:
v = y^1 - n
No nosso caso, como n = 2, fica:
v = y^1 - 2 = y^-1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de v em relação a x. Usando a regra da cadeia:
d vd x = - y^-2 d yd x
Rearranjando essa expressão para d yd x:
d yd x = - y^2 d vd x

Passo 4

Substituímos d yd x na equação original pela expressão que encontramos:
- y^2 d vd x + 1x y = x y^2
Agora, vamos dividir todos os termos por y^2 para simplificar:
- d vd x + 1x y^-1 = x
Lembrando que v = y^-1, então y^-1 = v. Assim, temos:
- d vd x + vx = x

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
d vd x - vx = -x
Agora, temos uma equação linear onde:
  • Coeficiente de v é -1x
  • Termo constante é -x

Passo 6

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Aqui, P(x) = -1x, então:
mu(x) = e^integral -1x dx = e^-ln|x| = x^-1

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela mu(x):
x^-1 d vd x - x^-2 v = -x^-1 cdot x = -1
Isso simplifica para:
dd x ( v cdot x^-1 ) = -1

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
v cdot x^-1 = integral -1 , dx = -x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Resolvemos para v:
v = -x (x) + Cx = -x^2 + Cx
Lembrando que v = y^-1, então:
y^-1 = -x^2 + Cx

Passo 10

Finalmente, resolvemos para y:
y = 1-x^2 + Cx = 1Cx - x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1Cx - x^2
Onde C é uma constante arbitrária.

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