Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes variáveis
Este é um caso de equação de Cauchy–Euler, resolvida propondo uma solução do tipo potência em
.
Passo 2
Fazendo a mudança de variável
a equação fica
que é exatamente a forma padrão de uma equação de Euler–Cauchy de terceira ordem.
Passo 3
Propondo uma solução do tipo
temos
Substituindo na equação e fatorando
(que para
nunca é zero) obtemos a equação característica
Passo 4
Expandindo e somando os termos da característica:
Verifica-se que
é raiz, e fazendo divisão por
chega-se a
cujas raízes são
Passo 5
Para uma equação de Euler com raízes reais
e complexas conjugadas
, a solução geral em
é
Aqui
,
,
, logo
Voltando a
obtemos a solução geral em
.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.