Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
(1+x)^3 y^prime prime prime+(1+x)^2 y^prime prime+3(1+x) y^prime-8 y=0 (x neq-1)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes variáveis
(1+x)^3y^primeprimeprime+(1+x)^2y^primeprime+3(1+x)y^prime-8y=0, xneq -1
Este é um caso de equação de Cauchy–Euler, resolvida propondo uma solução do tipo potência em t=1+x.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável
t = 1 + x,
a equação fica
t^3 d^3ydt^3 + t^2 d^2ydt^2 + 3t dydt - 8y = 0,
que é exatamente a forma padrão de uma equação de Euler–Cauchy de terceira ordem.

Passo 3

Propondo uma solução do tipo
y(t) = t^r,
temos
dydt = r,t^r-1, d^2ydt^2 = r(r-1),t^r-2, d^3ydt^3 = r(r-1)(r-2),t^r-3
Substituindo na equação e fatorando t^r (que para tneq0 nunca é zero) obtemos a equação característica
r(r-1)(r-2) + r(r-1) + 3r - 8 = 0

Passo 4

Expandindo e somando os termos da característica:
r^3 - 3r^2 + 2r + r^2 - r + 3r - 8 = r^3 - 2r^2 + 4r - 8 = 0
Verifica-se que r=2 é raiz, e fazendo divisão por (r-2) chega-se a
(r-2)(r^2+4)=0,
cujas raízes são
r1 = 2, r2,3 = pm 2i

Passo 5

Para uma equação de Euler com raízes reais r1 e complexas conjugadas alphapm ibeta, a solução geral em t é
y(t) = C1,t^r1 + t^alphal(C2cos(betaln t)+C3sin(betaln t)r)
Aqui r1=2, alpha=0, beta=2, logo
y(t) = C1,t^2 + C2cosl(2ln tr) + C3sinl(2ln tr)
Voltando a t=1+x obtemos a solução geral em x.

Resposta

boxedy(x) = C1,(1+x)^2 + C2cosl(2ln(1+x)r) + C3sinl(2ln(1+x)r),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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