Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
f(x)=sin (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limhto0f(x+h)-f(x)h
para a função f(x)=sin(3x).
Esse limite é justamente a definição de derivada de f em x. Vamos usar identidade trigonométrica e o limite fundamental
limuto0sin uu=1
para encontrar f'(x).

Passo 2

Escrevendo o quociente de diferença para f(x)=sin(3x), temos
f(x+h)-f(x)h =sinl(3(x+h)r)-sin(3x)h =sin(3x+3h)-sin(3x)h
Aplicando a fórmula
sin A-sin B=2cos!l(tfracA+B2r),sin!l(tfracA-B2r)
com A=3x+3h e B=3x, o numerador vira
2cos!l(3x+3h2r),sin!l(3h2r)

Passo 3

Substituindo no quociente, obtemos
2cos!l(3x+tfrac3h2r),sin!l(tfrac3h2r)h =2cos!l(3x+3h2r),sin!l(tfrac3h2r)h
Para isolar o limite fundamental, note que
sin!l(tfrac3h2r)h =sin!l(tfrac3h2r)tfrac3h2cdot32
Logo o quociente fica
2cos!l(3x+tfrac3h2r)cdotsin!l(tfrac3h2r)tfrac3h2cdot32 =3cos!l(3x+tfrac3h2r),sin!l(tfrac3h2r)tfrac3h2

Passo 4

Agora basta tomar hto0. Temos
cos!l(3x+tfrac3h2r)tocos(3x), sin!l(tfrac3h2r)tfrac3h2to1
Portanto o limite vale
3cos(3x)cdot1=3cos(3x)

Resposta

3cos(3x)

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