Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de 3º ordem
para
. Esse tipo de equação é conhecido como equação de Euler–Cauchy e a técnica envolve assumir uma solução do tipo
.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo na equação original obtemos
o que simplifica para
Logo, a equação característica é
Passo 3
Expandindo o termo da equação característica, temos
ou seja
Passo 4
Verificamos que
é raiz, pois
Fazendo a divisão de polinômios, escrevemos
Resolvendo a equação quadrática
obtemos
Assim as raízes são
Passo 5
Como as raízes
,
e
são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é a combinação linear