Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
4 x^3 y^prime prime prime+x y^prime-y=0 (x neq 0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de 3º ordem
4 x^3 y''' + x y' - y = 0
para x neq 0. Esse tipo de equação é conhecido como equação de Euler–Cauchy e a técnica envolve assumir uma solução do tipo y = x^m.

Passo 2

Assumindo y = x^m, temos
y' = m x^m-1, y'' = m(m-1) x^m-2, y''' = m(m-1)(m-2) x^m-3
Substituindo na equação original obtemos
4 x^3 l(m(m-1)(m-2) x^m-3r) + x l(m x^m-1r) - x^m = 0
o que simplifica para
l(4 m(m-1)(m-2) + m - 1r),x^m = 0
Logo, a equação característica é
4 m(m-1)(m-2) + m - 1 = 0

Passo 3

Expandindo o termo da equação característica, temos
4 m^3 - 12 m^2 + 8 m + m - 1 = 0
ou seja
4 m^3 - 12 m^2 + 9 m - 1 = 0

Passo 4

Verificamos que m = 1 é raiz, pois
4 - 12 + 9 - 1 = 0
Fazendo a divisão de polinômios, escrevemos
4 m^3 - 12 m^2 + 9 m - 1 = (m - 1),(4 m^2 - 8 m + 1)
Resolvendo a equação quadrática
4 m^2 - 8 m + 1 = 0
obtemos
m = 8 pm raiz64 - 168 = 8 pm 4raiz38 = 1 pm raiz32
Assim as raízes são
m1 = 1, m2 = 1 + raiz32, m3 = 1 - raiz32

Passo 5

Como as raízes m1, m2 e m3 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é a combinação linear
y(x) = C1 x^m1 + C2 x^m2 + C3 x^m3

Resposta

y(x) = C1 x + C2 x^1 + raiz32 + C3 x^1 - raiz32

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