Reselva as equaçõs diferenciais ordinárias:
cy^prime+2 x y-e^-x^2=x y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + 2x,y - e^-x^2 = x,
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é resolver uma equação linear do tipo
y' + p(x),y = q(x)
usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão identificando
p(x)=2x, q(x)=x + e^-x^2,
ou seja,
y' + 2x,y = x + e^-x^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = expl(x^2r) = e^x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x):
e^x^2y' + 2x e^x^2y = x e^x^2 + e^-x^2e^x^2 ;Longrightarrow; ddxl(y,e^x^2r) = x e^x^2 + 1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^x^2 = integrall(x e^x^2 + 1r),dx = integral x e^x^2,dx + integral 1,dx = tfrac12 e^x^2 + x + C

Passo 6

Isolamos y:
y = tfrac12 e^x^2 + x + Ce^x^2 = tfrac12 + x e^-x^2 + C e^-x^2
Usando a condição y(0)=1 obtemos
1 = tfrac12 + 0 + Ccdot1 Longrightarrow C = tfrac12

Resposta

y(x) = tfrac12 + l(x + tfrac12r)e^-x^2

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