Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
y^(4)-2 y^prime prime+y=x^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes
y^(4) - 2y'' + y = x^3
O que precisamos: (1) achar a solução geral da equação homogênea associada; (2) encontrar uma solução particular para o termo não-homogêneo x^3; (3) somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y^(4) - 2y'' + y = 0
e montamos a equação característica
r^4 - 2r^2 + 1 = 0 Longrightarrow (r^2 -1)^2 = 0
Isso dá as raízes r = 1 (multiplicidade 2) e r = -1 (multiplicidade 2). Logo a solução homogênea é
yh(x) = (C1 + C2,x)e^x + (C3 + C4,x)e^-x

Passo 3

Para a solução particular yp, o lado direito é um polinômio de grau 3, e r=0 não é raiz da característica, então tentamos
yp(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias:
yp''(x) = 6a,x + 2b, yp^(4)(x) = 0
Substituindo em y^(4) - 2y'' + y = x^3, obtemos
0 - 2(6a x + 2b) + (a x^3 + b x^2 + c x + d) = x^3
Isto é
a x^3 + b x^2 + (c - 12a)x + (d - 4b) = x^3
Comparando coeficientes:
a = 1, b = 0, c -12a = 0implies c = 12, d -4b = 0implies d = 0.
Portanto
yp(x) = x^3 + 12x

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = (C1 + C2,x)e^x + (C3 + C4,x)e^-x + x^3 + 12,x

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