Resolva o sistema ld xd t=-y+3 t d yd t=4 x+2 t dadas as condições iniciais x(0)=1, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
dxdt = -,y + 3t, dydt = 4x + 2t,
com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=2.
O método que vamos usar é reduzir esse sistema a uma única ODE de segunda ordem para x(t), resolver essa ODE não homogênea e depois voltar a y(t).

Passo 2

Diferenciando dxdt=-y+3t em relação a t temos
x'' = d^2xdt^2 = -,dydt + 3 = -l(4x + 2tr) + 3 = -4x - 2t + 3
Reorganizando, obtemos a equação de segunda ordem
x'' + 4x = -2t + 3

Passo 3

A parte homogênea é
xh'' + 4xh = 0,
cuja equação característica lambda^2 + 4=0 tem raízes lambda=pm2i. Logo
xh(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)

Passo 4

Para a solução particular xp(t), como o lado direito -2t+3 é um polinômio de grau 1, chutamos
xp(t)=alpha t + beta
Então xp''=0 e, substituindo em x''+4x=-2t+3, vem
4(alpha t + beta) = -2t + 3 Longrightarrow 4alpha = -2,; 4beta = 3
de onde
alpha = -tfrac12 e beta = tfrac34.

Passo 5

A solução geral de x é a soma da parte homogênea com a particular:
x(t) = Acos(2t) + Bsin(2t) -12,t + 34

Passo 6

Para encontrar y(t), usamos
dxdt = -,y + 3t Longrightarrow y = -dxdt + 3t
Como
dxdt = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t) - 12,
segue
y(t) = -l(-2Asin(2t) + 2Bcos(2t) - tfrac12r) + 3t = 2Asin(2t) - 2Bcos(2t) + tfrac12 + 3t

Passo 7

Aplicando as condições iniciais em t=0:
x(0)=A + tfrac34 = 1 ;Longrightarrow; A = tfrac14,
y(0)=2Acdot0 - 2Bcdot1 + tfrac12 = 2 ;Longrightarrow; -2B + tfrac12 = 2 ;Longrightarrow; B = -tfrac34
Substituindo A e B, obtemos
x(t) = 14cos(2t) - 34sin(2t) - 12,t + 34,
y(t) = 2!l(tfrac14r)sin(2t) - 2!l(-tfrac34r)cos(2t) + 12 + 3t = 12sin(2t) + 32cos(2t) + 12 + 3t

Resposta

x(t) = 14cos(2t);-;34sin(2t);-;12,t;+;34, y(t) = 12sin(2t);+;32cos(2t);+;12;+;3t

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