Resolva o sistema
dadas as condições iniciais
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
com condições iniciais
e
.
O método que vamos usar é reduzir esse sistema a uma única ODE de segunda ordem para , resolver essa ODE não homogênea e depois voltar a
.
O método que vamos usar é reduzir esse sistema a uma única ODE de segunda ordem para
Passo 2
Diferenciando
em relação a
temos
Reorganizando, obtemos a equação de segunda ordem
Passo 3
A parte homogênea é
cuja equação característica
tem raízes
. Logo
Passo 4
Para a solução particular
, como o lado direito
é um polinômio de grau 1, chutamos
Então
e, substituindo em
, vem
de onde
e
.
Passo 5
A solução geral de
é a soma da parte homogênea com a particular:
Passo 6
Para encontrar
, usamos
Como
segue
Passo 7
Aplicando as condições iniciais em
:
Substituindo
e
, obtemos