Difusão térmica em uma barra
Considere uma barra de comprimento
com temperatura inicial
. As extremidades são mantidas a zero graus:
Resolva a equação do calor e encontre a distribuição de temperatura ao longo da barra com o passar do tempo.
Explique fisicamente como essa configuração pode ser realizada em laboratório.
Explique fisicamente como essa configuração pode ser realizada em laboratório.
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor unidimensional numa barra de comprimento
, com difusividade térmica
, sujeita a condições de contorno
e condição inicial uniforme
Vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar
.
Passo 2
Assumimos solução na forma
Substituindo na equação do calor
obtemos
onde
é constante de separação.
Passo 3
O problema espacial fica
Para não–trivial temos autovalores
e autofunções
Passo 4
O problema temporal correspondente é
cuja solução é
Passo 5
A solução geral, somando todos os modos, é
Passo 6
Impondo a condição inicial
, obtemos a série de Fourier seno
Os coeficientes são
Note que
para
par, não–nulo para
ímpar.
Passo 7
Reescrevendo só em termos de índices ímpares
,
, chega-se a
Passo 8
Fisicamente, essa configuração se realiza em laboratório colocando as extremidades da barra em reservatórios isotérmicos a
(banhos de gelo ou termostatos) e aquecendo inicialmente a barra até temperatura uniforme
(forno ou aquecedor elétrico). A medição da temperatura ao longo da barra pode ser feita com termopares ou sondas de infravermelho em vários pontos
.