Difusão térmica em uma barra
Considere uma barra de comprimento L com temperatura inicial u(x, 0)=T0. As extremidades são mantidas a zero graus:
u(0, t)=0, u(L, t)=0
Resolva a equação do calor e encontre a distribuição de temperatura ao longo da barra com o passar do tempo.
Explique fisicamente como essa configuração pode ser realizada em laboratório.

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional numa barra de comprimento L, com difusividade térmica alpha, sujeita a condições de contorno
u(0,t)=0, u(L,t)=0
e condição inicial uniforme
u(x,0)=T0
Vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar u(x,t).

Passo 2

Assumimos solução na forma
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na equação do calor ut=alpha,uxx obtemos
X(x),T'(t)=alpha,X''(x),T(t) Longrightarrow T'(t)alpha,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

O problema espacial fica
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=0, X(L)=0
Para não–trivial temos autovalores
lambdan=l(tfracnpiLr)^2, n=1,2,3,dots
e autofunções
Xn(x)=sin!l(npi x/Lr)

Passo 4

O problema temporal correspondente é
T'(t)+alpha,lambdan,T(t)=0,
cuja solução é
Tn(t)=Cn,exp!l(-alpha,lambdan,tr) =Cn,exp!l(-alpha,(npi/L)^2,tr)

Passo 5

A solução geral, somando todos os modos, é
u(x,t) =sumn=1^inftyCn,sin!l(npi x/Lr), exp!l(-alpha,(npi/L)^2,tr)

Passo 6

Impondo a condição inicial u(x,0)=T0, obtemos a série de Fourier seno
T0 =sumn=1^inftyCn,sin!l(npi x/Lr)
Os coeficientes são
Cn =2Lintegral0^LT0,sin!l(npi x/Lr),dx =2T0npil[1-(-1)^nr]
Note que 1-(-1)^n=0 para n par, não–nulo para n ímpar.

Passo 7

Reescrevendo só em termos de índices ímpares n=2m+1, m=0,1,2,dots, chega-se a
u(x,t) =4T0pisumm=0^infty12m+1 sin!l(tfrac(2m+1)pi xLr) exp!l(-alpha,tfrac(2m+1)^2pi^2L^2,tr)

Passo 8

Fisicamente, essa configuração se realiza em laboratório colocando as extremidades da barra em reservatórios isotérmicos a 0^circC (banhos de gelo ou termostatos) e aquecendo inicialmente a barra até temperatura uniforme T0 (forno ou aquecedor elétrico). A medição da temperatura ao longo da barra pode ser feita com termopares ou sondas de infravermelho em vários pontos x.

Resposta

u(x,t) =4T0pisumm=0^infty12m+1 sin!l((2m+1)pi xLr) exp!l(-alpha,(2m+1)^2pi^2L^2,tr)

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