Encontre a solução geral das seguintes EDOs ou resolva os PVIs.
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede é a solução geral (ou família de soluções) dessa EDO. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A derivada é
. - A função trigonométrica escrita como
é a seno; vou usar em TeX. - A equação envolve apenas
e , não aparece explicitamente. - Por haver
, precisamos ter no domínio da solução (pois exige argumento positivo).
Passo 2
Para simplificar a escrita, introduzo a notação
Assim a EDO fica
Reescrevo isolando
em função de
:
Isto nos dá
como função de
. A ideia agora é obter
também em função de
, usando que
. Veremos que isso nos permitirá escrever a solução em forma paramétrica com parâmetro
.
Passo 3
Como
está dado em função de
, posso derivar
em relação a
(tratar
como função implícita de
):
Justificativa: derivada de
é
e derivada de
é
. Portanto, difereciando
obtemos
.
Passo 4
Usando
(pois
), escrevo
em termos de
:
Simplifico a expressão dentro:
Passo 5
Agora integro ambos os lados em relação a
para obter
como função de
:
Isto é
Passo 6
Calculo a integral
por partes. Seja
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes
:
pois
. Substituindo na expressão de
,
onde
é constante de integração (absorvi
e o
num único
).
Passo 7
Juntando com a expressão para
, obtemos a solução geral em forma paramétrica (parâmetro
, que corresponde a
):
com
(para que
esteja definido) e
constante arbitrária.
Passo 8
Comentários finais e interpretação prática para a prova:
- A técnica usada foi tratar
como novo parâmetro porque a equação envolve apenas e . Isso permite escrever e em função de e obter a família de soluções parametricamente. - Em prova, ao ver uma EDO onde só aparece
(e possivelmente ), considere sempre a substituição e usar para integrar em termos de . - Lembre-se de verificar domínio: aqui
força .