Encontre a solução geral das seguintes EDOs ou resolva os PVIs.
x-\operatorname{sen}\left(y^{\prime}\right)+\ln y^{\prime}=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x-\operatorname{sen}\left(y'\right)+\ln y'=0.
O que se pede é a solução geral (ou família de soluções) dessa EDO. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A função trigonométrica escrita como \operatorname{sen} é a seno; vou usar \sin em TeX.
  • A equação envolve apenas x e y', não aparece y explicitamente.
  • Por haver \ln y', precisamos ter y'>0 no domínio da solução (pois \ln exige argumento positivo).

Passo 2

Para simplificar a escrita, introduzo a notação
p(x):=y'(x).
Assim a EDO fica
x-\sin p+\ln p=0.
Reescrevo isolando x em função de p:
x=\sin p-\ln p.
Isto nos dá x como função de p. A ideia agora é obter y também em função de p, usando que dy = p\,dx. Veremos que isso nos permitirá escrever a solução em forma paramétrica com parâmetro p.

Passo 3

Como x está dado em função de p, posso derivar x em relação a p (tratar x como função implícita de p):
\frac{dx}{dp}=\cos p-\frac{1}{p}.
Justificativa: derivada de \sin p é \cos p e derivada de -\ln p é -1/p. Portanto, difereciando x(p)=\sin p-\ln p obtemos \dfrac{dx}{dp}=\cos p-1/p.

Passo 4

Usando dy = p\,dx (pois p=y'), escrevo dy em termos de dp:
dy = p\,dx = p\left(\frac{dx}{dp}\right)dp = p\left(\cos p-\frac{1}{p}\right)dp.
Simplifico a expressão dentro:
dy = p\cos p\,dp - dp.

Passo 5

Agora integro ambos os lados em relação a p para obter y como função de p:
y=\int\big(p\cos p\,dp - dp\big).
Isto é
y=\int p\cos p\,dp - \int 1\,dp.

Passo 6

Calculo a integral \displaystyle\int p\cos p\,dp por partes. Seja u=p e dv=\cos p\,dp. Então du=dp e v=\sin p. Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int p\cos p\,dp = p\sin p - \int \sin p\,dp = p\sin p + \cos p + C_1,
pois \int \sin p\,dp = -\cos p. Substituindo na expressão de y,
y = \big(p\sin p + \cos p\big) - p + C,
onde C é constante de integração (absorvi -\int 1\,dp = -p e o C_1 num único C).

Passo 7

Juntando com a expressão para x, obtemos a solução geral em forma paramétrica (parâmetro p, que corresponde a y'):
\boxed{\,x=\sin p-\ln p,\qquad y=p\sin p+\cos p-p+C\,}
com p>0 (para que \ln p esteja definido) e C\in\mathbb{R} constante arbitrária.

Passo 8

Comentários finais e interpretação prática para a prova:
  • A técnica usada foi tratar p=y' como novo parâmetro porque a equação envolve apenas x e y'. Isso permite escrever x e y em função de p e obter a família de soluções parametricamente.
  • Em prova, ao ver uma EDO onde só aparece y' (e possivelmente x), considere sempre a substituição p=y' e usar dy=p\,dx para integrar em termos de p.
  • Lembre-se de verificar domínio: aqui \ln p força p>0.

Resposta

x=\sin p-\ln p,\qquad y=p\sin p+\cos p-p+C,\quad p>0,\;C\in\mathbb{R}

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