Encontre a solução geral das seguintes EDOs ou resolva os PVIs.
y^{\prime}=\frac{y+1}{x};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{y+1}{x}
e pede a solução geral (não foi dado nenhum valor inicial). Informação importante que já aparece no enunciado: a expressão \frac{y+1}{x} exige x\neq0 para que a EDO esteja bem definida. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis y e x. A ideia do método das variáveis separáveis é escrever a EDO na forma
f(y)\,dy = g(x)\,dx,
ou seja, tudo que depende de y de um lado e tudo que depende de x do outro, e então integrar ambos os lados. Aqui temos
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{y+1}{x}.
Passando dx para a direita e dividindo por y+1 (observando que isso exige y\neq-1 no passo da divisão, mas veremos a constante y\equiv-1 separadamente), obtemos
\frac{dy}{y+1}=\frac{dx}{x}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Preciso lembrar a primitiva de \frac{1}{u} é \ln|u|. Aplicando isso:
\int \frac{dy}{y+1} = \int \frac{dx}{x}.
As integrais dão
\ln|y+1| = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Esta igualdade pode ser reescrita exponenciando ambos os lados:
|y+1| = e^{\ln|x|+C} = e^{C}\,|x|.
Denotando K=e^{C} (que é uma constante positiva), obtemos
|y+1| = K|x|.
Eliminando o valor absoluto (absorvendo o sinal em K, que pode ser escolhido como qualquer constante real — positiva, negativa ou zero), obtemos a forma mais simples
y+1 = Cx,
onde agora C é uma constante real arbitrária (pode ser zero). Portanto
y = Cx - 1.
Observação sobre o caso y\equiv-1: na separação dividimos por y+1, então tecnicamente perdemos a possibilidade de uma solução constante com y+1=0. Mas essa solução está incluída na família acima tomando C=0, pois se C=0 temos y=-1. Logo a família y=Cx-1 já cobre o caso constante.

Passo 4

Verificação rápida: se y=Cx-1 então y'=C. O lado direito da EDO é
\frac{y+1}{x}=\frac{(Cx-1)+1}{x}=\frac{Cx}{x}=C,
logo coincide com y'. A solução está correta. Lembrando que a EDO original exige x\neq0, então tomamos as soluções válidas em intervalos onde x\neq0.

Resposta

y = Cx - 1,\quad C\in\mathbb{R},\; x\neq0

Exercícios relacionados