Encontre a solução geral das seguintes EDOs ou resolva os PVIs.
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral (não foi dado nenhum valor inicial). Informação importante que já aparece no enunciado: a expressão
exige
para que a EDO esteja bem definida. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
. A ideia do método das variáveis separáveis é escrever a EDO na forma
ou seja, tudo que depende de
de um lado e tudo que depende de
do outro, e então integrar ambos os lados. Aqui temos
Passando
para a direita e dividindo por
(observando que isso exige
no passo da divisão, mas veremos a constante
separadamente), obtemos
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Preciso lembrar a primitiva de
é
. Aplicando isso:
As integrais dão
onde
é a constante de integração. Esta igualdade pode ser reescrita exponenciando ambos os lados:
Denotando
(que é uma constante positiva), obtemos
Eliminando o valor absoluto (absorvendo o sinal em
, que pode ser escolhido como qualquer constante real — positiva, negativa ou zero), obtemos a forma mais simples
onde agora
é uma constante real arbitrária (pode ser zero). Portanto
Observação sobre o caso
: na separação dividimos por
, então tecnicamente perdemos a possibilidade de uma solução constante com
. Mas essa solução está incluída na família acima tomando
, pois se
temos
. Logo a família
já cobre o caso constante.
Passo 4
Verificação rápida: se
então
. O lado direito da EDO é
logo coincide com
. A solução está correta. Lembrando que a EDO original exige
, então tomamos as soluções válidas em intervalos onde
.