Encontre a solução geral das seguintes EDOs ou resolva os PVIs.
(5 x+4 y) d x+\left(4 x-8 y^{3}\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada em forma diferencial:
(5 x+4 y)\,d x+\left(4 x-8 y^{3}\right)\,d y=0.
Informações relevantes fornecidas:
M(x,y)=5x+4y\quad\text{(coeficiente de }d x\text{)}
N(x,y)=4x-8y^{3}\quad\text{(coeficiente de }d y\text{)}
A pergunta é: obter a solução geral implícita F(x,y)=C (ou solução explícita se for possível).

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se, num domínio apropriado, valem
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular as derivadas parciais (aqui estou a diferenciar simbolicamente; nada de cálculo numérico complicado):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(5x+4y)=4,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4x-8y^{3})=4.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x=4, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral é \varphi(x,y)=C.

Passo 3

Método para achar \varphi: integrar M em relação a x, tratando y como constante. Isto gera uma primitiva que pode diferir por uma função de y (porque ao integrar em x a “constante” de integração pode depender de y):
\varphi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int(5x+4y)\,dx.
Calcule a integral passo a passo: \int 5x\,dx=\tfrac{5}{2}x^{2} e \int 4y\,dx=4y\cdot x (pois y é constante na integração em x). Então
\varphi(x,y)=\frac{5}{2}x^{2}+4xy+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y a determinar.

Passo 4

Agora usamos a outra condição \partial \varphi/\partial y=N(x,y) para encontrar h(y). Calcule a derivada parcial de \varphi em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{5}{2}x^{2}+4xy+h(y)\right)=4x+h'(y).
Esta deve ser igual a N(x,y)=4x-8y^{3}. Igualando,
4x+h'(y)=4x-8y^{3}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=-8y^{3}.

Passo 5

Integramos h'(y) em relação a y para obter h(y):
h(y)=\int -8y^{3}\,dy=-8\cdot\frac{y^{4}}{4}=-2y^{4}+C_{0}.
A constante C_{0} será absorvida na constante final da solução implícita, então podemos tomar h(y)=-2y^{4} para montar \varphi.

Passo 6

Substituindo h(y) em \varphi obtemos a função potencial completa:
\varphi(x,y)=\frac{5}{2}x^{2}+4xy-2y^{4}.
A solução geral implícita da equação diferencial é
\varphi(x,y)=C,
ou seja
\frac{5}{2}x^{2}+4xy-2y^{4}=C.
Se preferir remover a fração, multiplica-se por 2 e escreve-se de forma equivalente:
5x^{2}+8xy-4y^{4}=C'.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule \partial \varphi/\partial x e \partial \varphi/\partial y a partir da \varphi encontrada e veja se recupera M e N. De fato,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=5x+4y=M,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=4x-8y^{3}=N,
portanto está tudo coerente. Você encontrou a solução implícita correta. Força aí — essa técnica de exatidão é um atalho muito útil e rápida de aplicar em provas quando as parciais batem!

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}x^{2}+4xy-2y^{4}=C

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