Encontre a solução geral das seguintes EDOs ou resolva os PVIs.
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Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada em forma diferencial:
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: obter a solução geral implícita
(ou solução explícita se for possível).
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se, num domínio apropriado, valem
Vamos calcular as derivadas parciais (aqui estou a diferenciar simbolicamente; nada de cálculo numérico complicado):
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e a solução geral é
.
Passo 3
Método para achar
: integrar
em relação a
, tratando
como constante. Isto gera uma primitiva que pode diferir por uma função de
(porque ao integrar em
a “constante” de integração pode depender de
):
Calcule a integral passo a passo:
e
(pois
é constante na integração em
). Então
onde
é uma função arbitrária de
a determinar.
Passo 4
Agora usamos a outra condição
para encontrar
. Calcule a derivada parcial de
em relação a
:
Esta deve ser igual a
. Igualando,
Passo 5
Integramos
em relação a
para obter
:
A constante
será absorvida na constante final da solução implícita, então podemos tomar
para montar
.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa:
A solução geral implícita da equação diferencial é
ou seja
Se preferir remover a fração, multiplica-se por
e escreve-se de forma equivalente:
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule
e
a partir da
encontrada e veja se recupera
e
. De fato,
portanto está tudo coerente. Você encontrou a solução implícita correta. Força aí — essa técnica de exatidão é um atalho muito útil e rápida de aplicar em provas quando as parciais batem!