Exercício 6. Sejam vec{u}, \vec{v} e vec{w} vetores de V^{3}. Mostre que:
O elemento oposto de \vec{u} é (-1) \cdot \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá que \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são vetores de V^{3} (ou seja, pertencem a um espaço vetorial de dimensão 3) e pede para mostrar que o elemento oposto de \vec{u} é (-1)\cdot\vec{u}.\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Temos um vetor \vec{u} qualquer em V^{3}.\n
  • Precisamos provar que o oposto (ou inverso aditivo) de \vec{u} — que normalmente escrevemos como -\vec{u} e que é o vetor que somado a \vec{u} dá o vetor zero — é exatamente o vetor obtido multiplicando \vec{u} pelo escalar -1, isto é, que -\vec{u}=(-1)\cdot\vec{u}.\n
    Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Lembra do que significa “elemento oposto” (inverso aditivo) num espaço vetorial: dado um vetor \vec{u}, o seu oposto é um vetor que, somado a \vec{u}, dá o vetor nulo (vetor zero). Em símbolos, \vec{x} é o oposto de \vec{u} se e somente se
\vec{u}+\vec{x}=\vec{0}.
O objetivo então é mostrar que (-1)\cdot\vec{u} satisfaz essa propriedade, ou seja, provar que
\vec{u}+(-1)\cdot\vec{u}=\vec{0}.
Se conseguirmos isso e lembrarmos que o inverso aditivo é único, teremos provado que (-1)\cdot\vec{u} é exatamente -\vec{u}.

Passo 3

Vou lembrar as propriedades (axiomas) de espaço vetorial que vou usar, explicando cada uma de forma simples:
  • Distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares: para quaisquer escalares a,b e qualquer vetor \vec{u},
(a+b)\cdot\vec{u}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{u}.
Isto significa que multiplicar um vetor por uma soma de escalares é o mesmo que somar os produtos pelos escalares separados.\n
  • Elemento neutro escalar: para todo vetor \vec{u},
1\cdot\vec{u}=\vec{u}.
Ou seja, multiplicar por 1 não altera o vetor.\n
  • Existência do vetor nulo \vec{0}, tal que \vec{u}+\vec{0}=\vec{u} para todo \vec{u}, e existência de inversos aditivos: para todo \vec{u} existe -\vec{u} com \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}.\n
    Também usarei um fato útil (que vou provar em seguida): para todo vetor \vec{u} vale
0\cdot\vec{u}=\vec{0},
onde o primeiro 0 é o escalar zero e o segundo \vec{0} é o vetor nulo.

Passo 4

Prova do fato auxiliar 0\cdot\vec{u}=\vec{0} (vamos mostrar passo a passo):\n
  1. Pela propriedade distributiva (aplicada ao escalar), temos
(0+0)\cdot\vec{u}=0\cdot\vec{u}+0\cdot\vec{u}.\n
  1. Mas 0+0=0 como números, logo o lado esquerdo é simplesmente 0\cdot\vec{u}. Assim
0\cdot\vec{u}=0\cdot\vec{u}+0\cdot\vec{u}.\n
  1. Agora somamos ao lado esquerdo e direito o inverso aditivo de 0\cdot\vec{u} (ou seja, subtraímos 0\cdot\vec{u}). Como os inversos existem no espaço vetorial, obtemos
\vec{0}=(0\cdot\vec{u}+0\cdot\vec{u})+(-\,0\cdot\vec{u}) = 0\cdot\vec{u} + (0\cdot\vec{u}+(-\,0\cdot\vec{u})) = 0\cdot\vec{u} + \vec{0} = 0\cdot\vec{u}.
Aqui usei a associatividade e o fato de que x+(-x)=\vec{0}.\n
Portanto chegamos a
0\cdot\vec{u}=\vec{0},
que é o que queríamos provar.

Passo 5

Agora calculo \vec{u}+(-1)\cdot\vec{u} usando as propriedades listadas:\n
  1. Primeiro escrevo \vec{u} como 1\cdot\vec{u} (pelo axioma 1\cdot\vec{u}=\vec{u}). Assim
\vec{u}+(-1)\cdot\vec{u}=1\cdot\vec{u}+(-1)\cdot\vec{u}.\n
  1. Aplicando a distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares (com a=1 e b=-1), obtemos
1\cdot\vec{u}+(-1)\cdot\vec{u}=(1+(-1))\cdot\vec{u}.\n
  1. Mas 1+(-1)=0 como escalares, logo
(1+(-1))\cdot\vec{u}=0\cdot\vec{u}.\n
  1. Pelo resultado do Passo 4 sabemos que 0\cdot\vec{u}=\vec{0}. Portanto
\vec{u}+(-1)\cdot\vec{u}=\vec{0}.

Passo 6

Concluímos que (-1)\cdot\vec{u} é um vetor que somado a \vec{u} \vec{0}. Ou seja, (-1)\cdot\vec{u} satisfaz a definição de oposto (inverso aditivo) de \vec{u}.\n
Para estar formalmente completo, lembramos que o inverso aditivo de \vec{u} é único. A prova rápida da unicidade (para reforçar a ideia): suponha que \vec{x} e \vec{y} sejam ambos inversos aditivos de \vec{u}, isto é,
\vec{u}+\vec{x}=\vec{0}\quad\text{e}\quad \vec{u}+\vec{y}=\vec{0}.
Então
\vec{x}=\vec{x}+\vec{0}=\vec{x}+(\vec{u}+\vec{y})=(\vec{x}+\vec{u})+\vec{y}=\vec{0}+\vec{y}=\vec{y}.
Logo \vec{x}=\vec{y}. Assim, o inverso aditivo é único, e como mostramos que (-1)\cdot\vec{u} é um inverso aditivo, ele deve ser exatamente o oposto -\vec{u}.

Resposta

-\vec{u}=(-1)\cdot\vec{u}

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