Exercício 6. Sejam
e
vetores de
. Mostre que:
O elemento oposto de
é
.
O elemento oposto de
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são vetores de
(ou seja, pertencem a um espaço vetorial de dimensão 3) e pede para mostrar que o elemento oposto de
é
.\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Temos um vetor
qualquer em .\n - Precisamos provar que o oposto (ou inverso aditivo) de
— que normalmente escrevemos como e que é o vetor que somado a dá o vetor zero — é exatamente o vetor obtido multiplicando pelo escalar , isto é, que .\n
Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Lembra do que significa “elemento oposto” (inverso aditivo) num espaço vetorial: dado um vetor
, o seu oposto é um vetor que, somado a
, dá o vetor nulo (vetor zero). Em símbolos,
é o oposto de
se e somente se
O objetivo então é mostrar que
satisfaz essa propriedade, ou seja, provar que
Se conseguirmos isso e lembrarmos que o inverso aditivo é único, teremos provado que
é exatamente
.
Passo 3
Vou lembrar as propriedades (axiomas) de espaço vetorial que vou usar, explicando cada uma de forma simples:
- Distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares: para quaisquer escalares
e qualquer vetor ,
Isto significa que multiplicar um vetor por uma soma de escalares é o mesmo que somar os produtos pelos escalares separados.\n
- Elemento neutro escalar: para todo vetor
,
Ou seja, multiplicar por
não altera o vetor.\n
- Existência do vetor nulo
, tal que para todo , e existência de inversos aditivos: para todo existe com .\n
Também usarei um fato útil (que vou provar em seguida): para todo vetorvale
onde o primeiro
é o escalar zero e o segundo
é o vetor nulo.
Passo 4
Prova do fato auxiliar
(vamos mostrar passo a passo):\n
- Pela propriedade distributiva (aplicada ao escalar), temos
- Mas
como números, logo o lado esquerdo é simplesmente . Assim
- Agora somamos ao lado esquerdo e direito o inverso aditivo de
(ou seja, subtraímos ). Como os inversos existem no espaço vetorial, obtemos
Aqui usei a associatividade e o fato de que
.\n
Portanto chegamos a
Portanto chegamos a
que é o que queríamos provar.
Passo 5
Agora calculo
usando as propriedades listadas:\n
- Primeiro escrevo
como (pelo axioma ). Assim
- Aplicando a distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares (com
e ), obtemos
- Mas
como escalares, logo
- Pelo resultado do Passo 4 sabemos que
. Portanto
Passo 6
Concluímos que
é um vetor que somado a
dá
. Ou seja,
satisfaz a definição de oposto (inverso aditivo) de
.\n
Para estar formalmente completo, lembramos que o inverso aditivo de é único. A prova rápida da unicidade (para reforçar a ideia): suponha que
e
sejam ambos inversos aditivos de
, isto é,
Para estar formalmente completo, lembramos que o inverso aditivo de
Então
Logo
. Assim, o inverso aditivo é único, e como mostramos que
é um inverso aditivo, ele deve ser exatamente o oposto
.