Exercício 6. Sejam vec{u}, \vec{v} e vec{w} vetores de V^{3}. Mostre que:
Se \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{0}, então \vec{v}=\overrightarrow{-u}.
Passo 1
O enunciado dá três vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} em V^{3} e afirma que
\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{0}.
A pergunta é: provar que, sob essa hipótese, necessariamente
\vec{v}=\overrightarrow{-u}.
Informações relevantes fornecidas:
Temos a igualdade \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{0}.
\overrightarrow{0} é o vetor nulo do espaço vetorial V^{3}.
Queremos mostrar que \vec{v} é o inverso aditivo (o negativo) de \vec{u}.
Passo 2
Lembra do que é o inverso aditivo de um vetor? Pelo axioma do espaço vetorial:
Para cada vetor \vec{x} existe um único vetor \overrightarrow{-x} tal que
\vec{x}+\overrightarrow{-x}=\overrightarrow{0}.
Aqui \overrightarrow{-x} é chamado de “negativo” ou “inverso aditivo” de \vec{x}. Vou explicar cada propriedade usada:
A identidade aditiva: existe um único vetor \overrightarrow{0} tal que, para todo \vec{y},
\vec{y}+\overrightarrow{0}=\vec{y}.
A existência do inverso aditivo: para todo \vec{y} existe \overrightarrow{-y} com \vec{y}+\overrightarrow{-y}=\overrightarrow{0}.
Comutatividade da adição: \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}.
Associatividade da adição: (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}).
Essas são as ferramentas que usaremos passo a passo.
Passo 3
Interpretação direta: a igualdade \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{0} diz exatamente que \vec{v} satisfaz a definição de inverso aditivo de \vec{u}, porque é um vetor que somado a \vec{u} dá o vetor nulo. Ou seja, \vec{v} é um candidato a ser \overrightarrow{-u}. Para concluir que \vec{v}=\overrightarrow{-u} precisamos usar a unicidade do inverso aditivo — isto é, mostrar que não podem existir dois inversos diferentes de \vec{u}.
Passo 4
Provar a unicidade do inverso aditivo (essa é uma prova padrão e curta): suponha que \vec{x} e \vec{y} são ambos inversos aditivos de \vec{u}, ou seja,
Pela propriedade da identidade aditiva, \overrightarrow{0}+\vec{y}=\vec{y}. Portanto chegamos a
\vec{x}=\vec{y}.
Isso mostra que o inverso aditivo de \vec{u} é único.
Passo 5
Aplicando o que acabamos de provar ao nosso problema: sabemos que \overrightarrow{-u} existe e satisfaz
\vec{u}+\overrightarrow{-u}=\overrightarrow{0}.
Também dada a hipótese \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{0}, vemos que \vec{v} também é um inverso aditivo de \vec{u}. Pela unicidade do inverso aditivo (Passo 4), esses dois inversos têm de ser iguais. Logo
\vec{v}=\overrightarrow{-u}.
Passo 6
Para fixar a intuição, um exemplo concreto em coordenadas em \mathbb{R}^{3}: se \vec{u}=(1,2,3) então o inverso aditivo é \overrightarrow{-u}=(-1,-2,-3). Note que \vec{u}+(-\vec{u})=(0,0,0)=\overrightarrow{0}. Assim, qualquer \vec{v} que satisfaça \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{0} tem coordenadas (-1,-2,-3) e portanto é exatamente \overrightarrow{-u}.