Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
f(x)=tan (x)

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de f(x)=tan(x) usando a definição pelo limite incremental. Vamos usar a fórmula
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
e os seguintes conteúdos de trigonometria e limites:
– identidade para diferença de tangentes;
limuto0sin uu=1.

Passo 2

Aplicamos a identidade
tan A - tan B = sin(A - B)cos A ,cos B
com A = x + h e B = x. Assim,
tan(x+h) - tan(x) = sinl((x+h)-xr)cos(x+h),cos(x) = sin hcos(x+h),cos(x)

Passo 3

O quociente incremental fica
tan(x+h)-tan(x)h = 1h,sin hcos(x+h),cos(x) = sin hh,1cos(x+h),cos(x)

Passo 4

Ao tomar hto0, temos sin h/hto1 e cos(x+h)tocos(x). Logo,
limhto0tan(x+h)-tan(x)h = 1;cdot;1cos(x),cos(x) = 1cos^2(x)

Resposta

1cos^2(x)

Exercícios relacionados