Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
y^(4)+2 y^prime prime+y=cos x

Passo 1

Temos a EDO não homogênea de quarta ordem
y^(4) + 2,y'' + y = cos x
O conteúdo envolvido é solução de EDO linear com coeficientes constantes: primeiro encontramos a solução complementar a partir da equação característica e depois usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da parte homogênea
r^4 + 2r^2 + 1 = 0
Fatorando,
r^4 + 2r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2 = 0
temos raiz dupla r=i e raíz dupla r=-i. Logo a solução complementar é
yc = l(C1 + C2,xr)cos x + l(C3 + C4,xr)sin x

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante cos x e sin x já aparecem na solução homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos o ansatz usual por x^2. Tomamos
yp = x^2l(Acos x + Bsin xr)

Passo 4

Aplicando o operador linear
L[y]=y^(4)+2,y''+y
ao ansatz yp e coletando os coeficientes de cos x e sin x, obtém-se
L[yp] = -8Acos x ;-;8Bsin x
Como queremos L[yp]=cos x, igualamos
-8A = 1, -8B = 0,
de onde
A = -18, B = 0

Passo 5

Assim a solução particular fica
yp = -x^28,cos x
Portanto, a solução geral da EDO é
y = yc + yp = l(C1 + C2,xr)cos x + l(C3 + C4,xr)sin x - x^28,cos x

Resposta

boxedy(x) = l(C1 + C2,xr)cos x + l(C3 + C4,xr)sin x - x^28,cos x

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