Reselva as equaçõs diferenciais ordinárias:
e^x+2 y d x-e^2 x-y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e^x+2y,dx ;-; e^2x-y,dy ;=; 0
Percebemos que podemos escrevê-la como uma equação de variáveis separáveis, bastando passar tudo envolvendo y de um lado e tudo envolvendo x do outro.

Passo 2

Isolando dfracdydx a partir de
e^x+2y,dx = e^2x-y,dy
temos
dydx = e^x+2ye^2x-y = e^x+2y -2x +y = e^-x+3y
Logo a equação fica
dydx = e^-x,e^3y

Passo 3

Separando as variáveis em
e^-3y,dy = e^-x,dx
podemos integrar cada lado:
integral e^-3y,dy = integral e^-x,dx

Passo 4

Calculemos as integrais:
integral e^-3y,dy = -tfrac13e^-3y, integral e^-x,dx = -e^-x
Portanto
-tfrac13e^-3y = -e^-x + C1
Multiplicando por -1 e reagrupando a constante, obtemos
tfrac13e^-3y = e^-x + C2 Longrightarrow e^-3y = 3,e^-x + C,
onde C=3C2 é a constante geral de integração.

Resposta

A solução geral pode ser dada implicitamente por
e^-3y - 3,e^-x = C
ou explicitamente por
y = -13lnl(3,e^-x + Cr)

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