Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
O conteúdo principal é resolver a parte homogênea via equação característica e depois encontrar uma solução particular. Para a parte particular, vamos usar a substituição de redução de ordem típica para forçantes da forma
multiplicado por polinômio.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
que fatoriza como
Logo a raiz
é tripla e a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular, fazemos a mudança de variável
Calculamos derivadas e substituímos na EDO; o resultado surpreendentemente simplifica para
ou seja
Passo 4
Integramos três vezes para obter
. Seja
Integrando:
Os termos com
pertencem à parte homogênea. Para uma particular, escolhemos
.
Passo 5
Assim uma escolha de solução particular é
Portanto a solução geral é
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.