Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=2 e^-x-x^2 e^-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 3y'' + 3y' + y = 2e^-x - x^2e^-x
O conteúdo principal é resolver a parte homogênea via equação característica e depois encontrar uma solução particular. Para a parte particular, vamos usar a substituição de redução de ordem típica para forçantes da forma e^-x multiplicado por polinômio.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y''' + 3y'' + 3y' + y = 0
A equação característica é
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0,
que fatoriza como
(r+1)^3 = 0
Logo a raiz r=-1 é tripla e a solução homogênea é
yh(x) = l(C1 + C2,x + C3,x^2r)e^-x

Passo 3

Para achar uma solução particular, fazemos a mudança de variável
y(x) = e^-x,u(x)
Calculamos derivadas e substituímos na EDO; o resultado surpreendentemente simplifica para
u'''(x),e^-x = l(2 - x^2r)e^-x,
ou seja
u'''(x) = 2 - x^2

Passo 4

Integramos três vezes para obter u(x). Seja
u'''(x) = -x^2 + 2
Integrando:
u''(x) = -tfracx^33 + 2x + A,
u'(x) = -tfracx^412 + x^2 + A,x + B,
u(x) = -tfracx^560 + tfracx^33 + tfracA,x^22 + B,x + C
Os termos com A,B,C pertencem à parte homogênea. Para uma particular, escolhemos A=B=C=0.

Passo 5

Assim uma escolha de solução particular é
yp(x) = e^-x,u(x) = e^-xl(-tfracx^560 + tfracx^33r)
Portanto a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = l(C1 + C2,x + C3,x^2r)e^-x + l(-tfracx^560 + tfracx^33r)e^-x

Resposta

boxedy(x) = l(C1 + C2x + C3x^2r)e^-x - x^560,e^-x + x^33,e^-x,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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