Questão 3. Calcule as seguintes integrais.
integral e^2 xe^3 x-e^2 x+e^x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^2xe^3x-e^2x+e^x-1,dx
O conteúdo é integração por substituição e frações parciais, já que temos uma função racional em e^x. Vamos usar a substituição t=e^x para transformar exponenciais em polinômios.

Passo 2

Fazendo t=e^x temos dt=e^x,dx, ou seja dx=dtt. Além disso
e^2x=t^2, e^3x=t^3, e^x=t,
logo a integral vira
integral t^2,t^3 - t^2 + t -1,,dtt = integral t,t^3 - t^2 + t -1,,dt

Passo 3

Observe que o denominador fatora por agrupamento:
t^3 - t^2 + t - 1 = (t^2)(t-1)+(t-1)=(t-1)(t^2+1)
Então
t(t-1)(t^2+1)
pode ser escrito como
At-1+Bt+Ct^2+1

Passo 4

Igualando numeradores:
t = A(t^2+1)+(Bt+C)(t-1) = (A+B),t^2 +(-B+C),t + (A-C)
Comparando coeficientes resulta no sistema
A+B=0, -B+C=1, A-C=0
Daí B=-A, C=A e -(-A)+A=1 2A=1, ou seja
A=tfrac12, B=-tfrac12, C=tfrac12

Passo 5

A integral em t fica
integrall[tfrac121t-1 -tfrac12tt^2+1 +tfrac121t^2+1r],dt
Integrando cada parcela:
tfrac12integraldtt-1=tfrac12ln|t-1|, -tfrac12integralt,dtt^2+1=-tfrac14ln(t^2+1), tfrac12integraldtt^2+1=tfrac12arctan t
Somando tudo, obtemos em termos de t:
tfrac12ln|t-1|-tfrac14ln(t^2+1)+tfrac12arctan t + C

Passo 6

Voltando a x com t=e^x, a resposta final é
12lnl|e^x-1r|-14lnl(e^2x+1r) +12arctanl(e^xr)+C

Resposta

12lnl|e^x-1r|-14lnl(e^2x+1r)+12arctanl(e^xr)+C

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