Encontre a solução geral das seguintes edo’s:
y^prime prime prime-3 y^prime prime+4 y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 3y'' + 4y' - 2y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: escrevemos a equação característica, encontramos suas raízes e construímos a combinação linear das soluções exponenciais.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
r^3 - 3r^2 + 4r - 2 = 0
Testamos a raiz racional r=1:
1^3 - 3cdot1^2 + 4cdot1 - 2 = 0,
portanto r=1 é raiz.

Passo 3

Fazendo a divisão sintética ou por fatoração, obtemos
r^3 - 3r^2 + 4r - 2 = (r - 1)l(r^2 - 2r + 2r)
Agora resolvemos o fator quadrático:
r^2 - 2r + 2 = 0 Longrightarrow r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot22 = 2 pm raiz-42 = 1 pm i

Passo 4

Como as raízes são r1 = 1, r2,3 = 1 pm i, a solução geral é
y(x) = C1 e^1cdot x + e^1cdot xl(C2 cos x + C3 sin xr),
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^x + e^xl(C2 cos x + C3 sin xr)

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