Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1\end{array}\\right)\’

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 0 & 1
e pede os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço. Vamos usar o cálculo do polinômio característico e a análise do núcleo de A - lambda I.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chiA(lambda):
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det1-lambda & 0 0 & 1-lambda = (1-lambda)^2

Passo 3

Igualando a zero, obtemos
(1 - lambda)^2 = 0 Longrightarrow lambda = 1
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para os autovetores associados a lambda=1, resolvemos
(A - I)v = 0 Longrightarrow 0 & 0 0 & 0 x y = 00
Isso vale para qualquer vetor v=(x,y), logo todo vneq(0,0) em R^2 é autovetor.

Passo 5

O autoespaço correspondente a lambda=1 é exatamente o núcleo de A-I, que é R^2. Portanto, sua dimensão é 2.

Resposta

Autovalor: lambda = 1 (multiplicidade algébrica 2)
Autovetores: todo vetor não nulo em R^2
Dimensão do autoespaço: 2

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