Mostre que a função f(x)=2 x+ln xraiz[3]x tem assíntota oblíqua y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=2x+ln xraiz[3]x
possui assíntota oblíqua y=2x. O conteúdo aqui é cálculo de assíntota oblíqua no infinito, usando as definições
m=limxtoinftyf(x)x, b=limxtoinftyl(f(x)-m,xr),
de modo que a assíntota seja y=mx+b.

Passo 2

Calculamos o coeficiente angular m:
m =limxtoinftyf(x)x =limxtoinfty2x+dfracln xx^1/3x =limxtoinftyl(2+ln xx^4/3r)
Como ln x cresce mais devagar que qualquer potência de x, tem-se
limxtoinftyln xx^4/3=0,
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m=2

Passo 3

Agora o coeficiente linear b:
b =limxtoinftyl(f(x)-2xr) =limxtoinftyln xx^1/3
De novo ln x=o(x^1/3), então
b=0

Passo 4

Portanto a assíntota oblíqua de f é
y=2x+0,
ou simplesmente y=2x.

Resposta

A assíntota oblíqua de f é
y=2x

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