Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \ 0 & 1\end{array}\\right)\’

Passo 1

O enunciado pede os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço da matriz
A = 1 & 1[6pt]0 & 1
O conteúdo da matéria é cálculo de autovalores via polinômio característico e determinação do espaço nulo de A-lambda I.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Primeiro, formamos A - lambda I:
A - lambda I = 1-lambda & 1[4pt]0 & 1-lambda
Em seguida, o determinante:
det(A-lambda I) = det1-lambda & 1[4pt]0 & 1-lambda = (1-lambda),(1-lambda) = (1-lambda)^2 ]

Passo 3

O polinômio característico é ,(1-lambda)^2=0. Daí obtemos o único autovalor
lambda = 1,
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para achar o autoespaço, resolvemos (A - I)v = 0. Temos
A - I = 0 & 1[4pt]0 & 0, v = x[4pt]y,
e
0 & 1[4pt]0 & 0 x[4pt]y = y[4pt]0 = 0[4pt]0 ;Longrightarrow; y=0,; xinR
Logo, todo autovetor é da forma ,(x,0)^T com xneq0. Uma base do autoespaço é
1[4pt]0 ]

Passo 5

A dimensão do autoespaço (número de vetores independentes) é 1.

Resposta

Autovalor: lambda=1 (multiplicidade algébrica 2).
Autovetores: todos os múltiplos de l(1,0r)^T.
Dimensão do autoespaço: 1.

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