Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \ 0 & 1\end{array}\\right)\’
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \ 0 & 1\end{array}\\right)\’
Passo 1
O enunciado pede os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço da matriz
O conteúdo da matéria é cálculo de autovalores via polinômio característico e determinação do espaço nulo de
.]
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de
. Primeiro, formamos
:
Em seguida, o determinante:
Passo 3
O polinômio característico é
. Daí obtemos o único autovalor
com multiplicidade algébrica
.
Passo 4
Para achar o autoespaço, resolvemos
. Temos
e
Logo, todo autovetor é da forma
com
. Uma base do autoespaço é
Passo 5
A dimensão do autoespaço (número de vetores independentes) é
.
Resposta
Autovalor:
(multiplicidade algébrica
).
Autovetores: todos os múltiplos de .
Dimensão do autoespaço: .
Autovetores: todos os múltiplos de
Dimensão do autoespaço: