Encontre a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

A equação dada é x y' - y = x^2 cos x. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos na forma padrão y' + p(x),y = q(x). Dividindo tudo por x, temos
y' - 1xy = xcos x

Passo 3

Para equações lineares y' + p(x)y = q(x), o fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx
Aqui p(x) = -1/x, então
mu(x) = e^integral -1xdx = e^-ln|x| = 1x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=1/x:
1xy' - 1x^2y = cos x
Reconhecemos no lado esquerdo a derivada de y/x, pois
l(tfracyxr)' = 1xy' - 1x^2y
Logo
l(tfracyxr)' = cos x
Integrando ambos os lados em relação a x:
yx = integral cos x,dx = sin x + C,

Passo 5

Finalmente, isolando y:
y = xsin x + Cx

Resposta

y = xsin x + Cx

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