Encontre a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

O enunciado traz a equação diferencial de primeira ordem linear (x^2+1),dydx-x,y=1. Vamos aplicar o método de fator integrante para resolver e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dydx+P(x),y=Q(x). Dividindo tudo por x^2+1 obtemos
dydx-xx^2+1,y=1x^2+1
Aqui P(x)=-xx^2+1 e Q(x)=1x^2+1.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por expl(integral P(x),dxr). Então
mu(x)=expl(integral -xx^2+1,dxr) =expl(-tfrac12ln(x^2+1)r) =(x^2+1)^-1/2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
(x^2+1)^-1/2dydx-x(x^2+1)^3/2,y=1(x^2+1)^3/2
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y,mu(x), ou seja,
ddxl(yraizx^2+1r)=1(x^2+1)^3/2

Passo 5

Agora basta integrar ambos os lados:
yraizx^2+1=integral1(x^2+1)^3/2,dx + C
Sabemos que
ddxl(xraizx^2+1r)=1(x^2+1)^3/2,
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yraizx^2+1=xraizx^2+1+C

Passo 6

Multiplicando por raizx^2+1 obtemos a solução geral
y=x+Craizx^2+1

Resposta

y = x + Craizx^2+1

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