Coloque na forma trigonométrica os números:
i(1+i)

Passo 1

O enunciado pede para colocar na forma trigonométrica o número complexo dado por \;i(1+i)\;. As informações fornecidas são exatamente essa expressão algébrica envolvendo a unidade imaginária \;i\;.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão algébrica:
i(1+i)=i+i^2.
Lembrando que \;i^2=-1\;, então:
i+i^2=i-1.

Passo 3

Escrevo o número na forma padrão x+iy. A partir de i-1 obtemos:
x=-1,\qquad y=1.
Então o número complexo é \;-1+i\;.

Passo 4

Agora calculo o módulo r. A definição do módulo (ou valor absoluto) de um número complexo x+iy é
r=\sqrt{x^2+y^2},
onde x é a parte real e y a parte imaginária. Substituindo x=-1 e y=1:
r=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 5

Em seguida encontro o argumento \theta. Uma forma comum é usar
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
mas atenção: essa fórmula dá um ângulo que precisa ser ajustado dependendo do quadrante onde (x,y) está. Aqui temos x=-1<0 e y=1>0, ou seja, o ponto está no segundo quadrante.
Calculo a razão:
\frac{y}{x}=\frac{1}{-1}=-1.
\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}, mas esse ângulo corresponde ao quarto quadrante. Para ajustarmos ao segundo quadrante (onde nosso ponto realmente está) somamos \pi:
\theta=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}.
Portanto o argumento principal é \theta=\dfrac{3\pi}{4}.

Passo 6

A forma trigonométrica padrão de um número complexo é
r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
com r o módulo e \theta o argumento. Substituindo r=\sqrt{2} e \theta=\dfrac{3\pi}{4} obtemos:
\sqrt{2}\bigl(\cos\!\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\!\tfrac{3\pi}{4}\bigr).

Passo 7

Verificação rápida (para ficar seguro): \cos\!\tfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin\!\tfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Multiplicando por \sqrt{2}:
\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1,\qquad \sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=1,
que retorna -1+i, conforme esperado.

Resposta

\sqrt{2}\bigl(\cos\!\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\!\tfrac{3\pi}{4}\bigr)

Exercícios relacionados