Escolha e resolva, no máximo 3 dentre as EDO’s abaixo:
5.
.
5.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial
O que se quer é encontrar a solução geral
(com constantes de integração) definida em intervalos onde faz sentido. As informações dadas são apenas a própria equação; não há condições iniciais. Vou encontrar todas as soluções (familia geral) e comentar sobre constantes e domínio.
Passo 2
Vou olhar a estrutura da equação e tentar reconhecer alguma coisa conhecida. Repare que a derivada do produto
é, pela regra do produto,
Portanto o lado esquerdo da equação é exatamente essa derivada. Essa é uma observação chave: a equação pode ser reescrita como
Explicando a regra do produto (rápido e direto): se
e
são funções,
. Aqui
e
.
Passo 3
Como a derivada de
é zero, isso significa que
é constante em
. Então existe uma constante real
tal que
Isto reduz a EDO de segunda ordem a uma EDO de primeira ordem (muito mais simples).
Passo 4
Escrevendo
, a equação
é separável. Separe as variáveis e integre:
Integrando ambos os lados em relação a
(ou integrando o lado esquerdo em
e o direito em
):
Ao integrar obtemos
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Multiplicando por
e renomeando constantes fica mais simples de escrever. Defina
e
. Assim a solução implícita é
com
constantes arbitrárias. Portanto, explicitamente,
onde o sinal é escolhido em cada componente do domínio onde
.
Comentando sobre casos especiais:
- Se
então e é constante: . Isso inclui a solução constante quando . - A expressão
deve ser não negativa no intervalo considerado; assim cada solução é definida em intervalos onde . Em problemas com condições iniciais escolhe-se o ramo e o intervalo compatíveis com essas condições. - Soluções que trocam de sinal em um ponto onde
podem não ser diferenciáveis ali (a raiz tem derivada infinita), então normalmente toma-se um mesmo sinal em cada intervalo contínuo do domínio.
Passo 6
Verificação rápida (para dar confiança): suponha
. Então
, isto é
. Diferenciando novamente,
Agora calcule
:
confirma que a família encontrada satisfaz a equação.
Passo 7
Resumo didático rápido de como resolver algo desse tipo na prova:
- Procure termos que sejam a derivada de um produto ou de uma função composta (a observação
foi decisiva). - Ao encontrar
integre imediatamente para obter uma constante. - Reduza a ordem da EDO e resolva a EDO de ordem menor (aqui separação de variáveis).
- Lembre-se de inserir todas as constantes de integração e discutir domínio e sinais ao resolver explicitamente para
.