Escolha e resolva, no máximo 3 dentre as EDO’s abaixo:
5. y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y\,y^{\prime\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0.
O que se quer é encontrar a solução geral y(x) (com constantes de integração) definida em intervalos onde faz sentido. As informações dadas são apenas a própria equação; não há condições iniciais. Vou encontrar todas as soluções (familia geral) e comentar sobre constantes e domínio.

Passo 2

Vou olhar a estrutura da equação e tentar reconhecer alguma coisa conhecida. Repare que a derivada do produto y\,y^{\prime} é, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(y\,y^{\prime}\bigr)=y^{\prime}y^{\prime}+y\,y^{\prime\prime}=\left(y^{\prime}\right)^{2}+y\,y^{\prime\prime}.
Portanto o lado esquerdo da equação é exatamente essa derivada. Essa é uma observação chave: a equação pode ser reescrita como
\frac{d}{dx}\bigl(y\,y^{\prime}\bigr)=0.
Explicando a regra do produto (rápido e direto): se u(x) e v(x) são funções, (uv)^\prime = u^\prime v + u v^\prime. Aqui u=y e v=y^\prime.

Passo 3

Como a derivada de y\,y^{\prime} é zero, isso significa que y\,y^{\prime} é constante em x. Então existe uma constante real C_1 tal que
y\,y^{\prime}=C_{1}.
Isto reduz a EDO de segunda ordem a uma EDO de primeira ordem (muito mais simples).

Passo 4

Escrevendo y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}, a equação y\,\dfrac{dy}{dx}=C_{1} é separável. Separe as variáveis e integre:
y\,dy = C_{1}\,dx.
Integrando ambos os lados em relação a x (ou integrando o lado esquerdo em y e o direito em x):
\int y\,dy = \int C_{1}\,dx.
Ao integrar obtemos
\frac{1}{2}y^{2}=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por 2 e renomeando constantes fica mais simples de escrever. Defina A=2C_{1} e B=2C_{2}. Assim a solução implícita é
y^{2}=A x + B,
com A,B\in\mathbb{R} constantes arbitrárias. Portanto, explicitamente,
y(x)=\pm\sqrt{A x + B},
onde o sinal é escolhido em cada componente do domínio onde A x + B\ge 0.
Comentando sobre casos especiais:
  • Se A=0 então y^{2}=B e y é constante: y=\pm\sqrt{B}. Isso inclui a solução constante y\equiv 0 quando B=0.
  • A expressão A x + B deve ser não negativa no intervalo considerado; assim cada solução é definida em intervalos onde A x + B\ge 0. Em problemas com condições iniciais escolhe-se o ramo e o intervalo compatíveis com essas condições.
  • Soluções que trocam de sinal em um ponto onde A x + B=0 podem não ser diferenciáveis ali (a raiz tem derivada infinita), então normalmente toma-se um mesmo sinal em cada intervalo contínuo do domínio.

Passo 6

Verificação rápida (para dar confiança): suponha y^{2}=A x + B. Então 2y y^{\prime}=A, isto é y^{\prime}=A/(2y). Diferenciando novamente,
y^{\prime\prime}=-\frac{A}{2}\cdot\frac{y^{\prime}}{y^{2}}=-\frac{A}{2}\cdot\frac{1}{y^{2}}\cdot\frac{A}{2y}=-\frac{A^{2}}{4y^{3}}.
Agora calcule y\,y^{\prime\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}:
y\left(-\frac{A^{2}}{4y^{3}}\right)+\left(\frac{A}{2y}\right)^{2}=-\frac{A^{2}}{4y^{2}}+\frac{A^{2}}{4y^{2}}=0,
confirma que a família encontrada satisfaz a equação.

Passo 7

Resumo didático rápido de como resolver algo desse tipo na prova:
  • Procure termos que sejam a derivada de um produto ou de uma função composta (a observação \bigl(y\,y^{\prime}\bigr)^\prime foi decisiva).
  • Ao encontrar \dfrac{d}{dx}(\text{algo})=0 integre imediatamente para obter uma constante.
  • Reduza a ordem da EDO e resolva a EDO de ordem menor (aqui separação de variáveis).
  • Lembre-se de inserir todas as constantes de integração e discutir domínio e sinais ao resolver explicitamente para y.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{A x + B}, com A,B\in\mathbb{R} constantes de integração, definida em intervalos onde A x + B\ge 0.

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