Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(e) 16 y^prime prime-8 y^prime+145 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
16,y'' - 8,y' + 145,y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Associamos à equação diferencial o polinômio característico obtendo
16r^2 - 8r + 145 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante desse polinômio:
De<a = (-8)^2 - 4 cdot 16 cdot 145 = 64 - 9280 = -9216
Como De<a<0, teremos raízes complexas. A raiz quadrada do discriminante é
raizDe<a = raiz-9216 = 96,i
Logo as raízes são
r = 8 pm 96,i2 cdot 16 = 832 pm 9632,i = 14 pm 3,i

Passo 4

Para raízes complexas r = alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha = tfrac14 e beta = 3, logo

Resposta

y(x) = e^tfracx4l(C1cos(3x) + C2sin(3x)r)

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