Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais exatas:
(3 x^2+y) d x+(x+cos y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(3x^2+y),dx + (x+cos y),dy = 0
Isso é um caso de equação exata, em que identificamos
M(x,y) = 3x^2+y e N(x,y) = x+cos y
Para resolver, vamos verificar a exatidão e depois encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M e partial Phipartial y = N

Passo 2

Checamos a condição de exatidão, que é
partial Mpartial y ;=;partialpartial y(3x^2+y) = 1,
partial Npartial x ;=;partialpartial x(x+cos y) = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y) integrando M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (3x^2+y),dx = x^3 + x,y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos Phi em relação a y e igualamos a N:
partial Phipartial y = x + h'(y) stackrel!= x + cos y Longrightarrow h'(y) = cos y
Integrando em y,
h(y) = integral cos y,dy = sin y
Logo
Phi(x,y) = x^3 + x,y + sin y

Passo 5

A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
Phi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^3 + x,y + sin y = C

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