Estude máximos e mínimos locais da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os extremos locais da função
O conteúdo usado será:
- cálculo das derivadas parciais para achar pontos críticos;
- teste da Hessiana (segundo derivadas) para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Logo os pontos críticos satisfazem
Assim há quatro pontos críticos:
,
,
e
.
Passo 3
Para classificar, usamos as segundas derivadas e o discriminante da Hessiana. As derivadas são
O discriminante é
Pelo teste da Hessiana, num ponto crítico:
- se
e , é mínimo local; - se
e , é máximo local; - se
, é ponto de sela.
Passo 4
Avaliamo-os um a um:
Em
:
dá
e
.
Logo é ponto de sela.
Logo é ponto de sela.
Em
:
dá
e
.
Como , é mínimo local.
Como
Em
:
dá
e
.
Como , é máximo local.
Como
Em
:
dá
e
.
Logo é ponto de sela.
Logo é ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
– ponto de sela;
– mínimo local;
– máximo local;
– ponto de sela.