Estude máximos e mínimos locais da função f(x, y)=
x^5-y^5-5 x+5 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os extremos locais da função
f(x,y)=x^5-y^5-5x+5y
O conteúdo usado será:
  1. cálculo das derivadas parciais para achar pontos críticos;
  2. teste da Hessiana (segundo derivadas) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x =5x^4-5 =5l(x^4-1r), partial fpartial y =-5y^4+5 =5l(1-y^4r)
Logo os pontos críticos satisfazem
x^4=1 Longrightarrow x=pm1, y^4=1 Longrightarrow y=pm1
Assim há quatro pontos críticos: (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1).

Passo 3

Para classificar, usamos as segundas derivadas e o discriminante da Hessiana. As derivadas são
fxx=20x^3, fyy=-20y^3, fxy=0
O discriminante é
D=fxx,fyy-(fxy)^2 =20x^3,l(-20y^3r) =-400,x^3y^3
Pelo teste da Hessiana, num ponto crítico:
  • se D>0 e fxx>0, é mínimo local;
  • se D>0 e fxx<0, é máximo local;
  • se D<0, é ponto de sela.

Passo 4

Avaliamo-os um a um:
Em (1,1):
x^3=1,;y^3=1 fxx=20>0,;fyy=-20<0 e D=-400<0.
Logo é ponto de sela.
Em (1,-1):
x^3=1,;y^3=-1 fxx=20>0,;fyy=20>0 e D=400>0.
Como fxx>0, é mínimo local.
Em (-1,1):
x^3=-1,;y^3=1 fxx=-20<0,;fyy=-20<0 e D=400>0.
Como fxx<0, é máximo local.
Em (-1,-1):
x^3=-1,;y^3=-1 fxx=-20<0,;fyy=20>0 e D=-400<0.
Logo é ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
(1,1) – ponto de sela;
(1,-1) – mínimo local;
(-1,1) – máximo local;
(-1,-1) – ponto de sela.

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