O que é possível afirmar sobre os pontos de máximos e mínimos locais de
Passo 1
O enunciado pede para classificar os pontos de máximo e mínimo local da função
O conteúdo necessário envolve:
- Encontrar pontos críticos via gradiente (
). - Calcular a Hessiana e usar o teste de segunda derivada.
- Em caso de Hessiana degenerada, usar análise direta da função.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Das equações do gradiente, temos duas formas de zerar cada uma:
- Se
, então ambas se anulam independentemente de . - Se
, então forçosamente e .
Logo, os pontos críticos são
-
. - Qualquer
tal que
Passo 4
Calculamos as segundas derivadas para usar o teste da Hessiana:
No ponto
vale
logo o determinante da Hessiana é
o que caracteriza um ponto de sela em
.
Passo 5
Agora analisamos os pontos com
. Nesses pontos escrevemos
com
, de modo que
. Como
tem máximo global
e mínimo global
, e em torno de
temos a expansão
vemos que
- Se
, então e atinge em , logo é máximo local. - Se
, então e atinge em , logo é mínimo local.
Concretamente:
- Máximos locais em
, pois aí . - Mínimos locais em
, pois aí .
Resposta
– O ponto
é um ponto de sela.
– Pontos com são máximos locais (
).
– Pontos com são mínimos locais (
).
– Pontos com
– Pontos com