O que é possível afirmar sobre os pontos de máximos e mínimos locais de f(x, y)= sin (x y) ?

Passo 1

O enunciado pede para classificar os pontos de máximo e mínimo local da função
f(x,y)=sin(xy)
O conteúdo necessário envolve:
  1. Encontrar pontos críticos via gradiente ( nabla f=0).
  2. Calcular a Hessiana e usar o teste de segunda derivada.
  3. Em caso de Hessiana degenerada, usar análise direta da função.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y)=partialpartial xsin(xy)=ycos(xy), fy(x,y)=partialpartial ysin(xy)=xcos(xy)
Os pontos críticos satisfazem
ycos(xy)=0, xcos(xy)=0

Passo 3

Das equações do gradiente, temos duas formas de zerar cada uma:
  • Se cos(xy)=0, então ambas se anulam independentemente de x,y.
  • Se cos(xy)neq0, então forçosamente x=0 e y=0.
    Logo, os pontos críticos são
  1. (x,y)=(0,0).
  2. Qualquer (x,y) tal que
cos(xy)=0 Long<=ftrightarrow xy=(2k+1)pi2, kinZ

Passo 4

Calculamos as segundas derivadas para usar o teste da Hessiana:
fxx=-y^2sin(xy), fyy=-x^2sin(xy), fxy=cos(xy)-xysin(xy)
No ponto (0,0) vale
fxx(0,0)=0,; fyy(0,0)=0,; fxy(0,0)=1,
logo o determinante da Hessiana é
D=fxxfyy-fxy^2=0cdot0-1^2=-1<0,
o que caracteriza um ponto de sela em (0,0).

Passo 5

Agora analisamos os pontos com cos(xy)=0. Nesses pontos escrevemos u=xy com u=(2k+1)pi/2, de modo que sin(u)=pm1. Como sin tem máximo global +1 e mínimo global -1, e em torno de u0=(2k+1)pi/2 temos a expansão
sin(u0+De<a u)approxsin(u0)-tfrac12sin(u0),De<a u^2,
vemos que
  • Se sin(u0)=+1, então sin(u)<=1 e atinge 1 em u0, logo é máximo local.
  • Se sin(u0)=-1, então sin(u)>=-1 e atinge -1 em u0, logo é mínimo local.
Concretamente:
  • Máximos locais em (x,y)mid xy=tfracpi2+2pi k, pois aí sin(xy)=+1.
  • Mínimos locais em (x,y)mid xy=-tfracpi2+2pi k, pois aí sin(xy)=-1.

Resposta

– O ponto (0,0) é um ponto de sela.
– Pontos com xy=tfracpi2+2pi k são máximos locais ( f=+1).
– Pontos com xy=-tfracpi2+2pi k são mínimos locais ( f=-1).

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