Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais exatas:
(y+e^x) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
l(y + e^xr),dx ;+; x,dy ;=; 0,
que pertence ao conteúdo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos (1) verificar se é exata, (2) encontrar a função potencial F(x,y) tal que dF=0, e (3) escrever a solução implícita F(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y+e^x e N(x,y)=x
A equação é exata se partial M/partial y = partial N/partial x. Calculando:
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=1,
portanto é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y)=y+e^x
Integramos em relação a x:
F(x,y)=integrall(y+e^xr),dx =xy + e^x + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar. Agora usamos
partial Fpartial y=x + g'(y)
e igualamos a N(x,y)=x. Daí g'(y)=0, logo g(y) é constante, que podemos absorver em C.

Passo 4

A solução implícita geral vem de
F(x,y)=xy + e^x = C

Resposta

xy + e^x = C

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