Q8. Considere um gás que se expande em um ambiente onde sua pressão diminui com o tempo de forma proporcional à própria pressão. A equação que modela esse processo é:
em que é a pressão no instante , e é uma constante de proporcionalidade. Determine a solução geral dessa equação diferencial.
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem, autônoma e separável, que modela a queda da pressão de um gás:
onde é a pressão no instante e é constante. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Separamos as variáveis e colocando todos os termos em de um lado e em do outro:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
que resulta em
onde C1 é constante de integração.
Passo 4
Elevamos exponencialmente para isolar P. Como ln|P| = -a,t + C1, temos
|P| = e^-a,t + C1 = e^C1,e^-a,t
Como a pressão pode ser positiva ou negativa em modelos genéricos, absorvemos o sinal e a constante em uma única constante arbitrária C:
P(t) = C,e^-a,t,
onde C é constante determinada pela condição inicial (por exemplo, C = P(0)).