Q8. Considere um gás que se expande em um ambiente onde sua pressão diminui com o tempo de forma proporcional à própria pressão. A equação que modela esse processo é:
d Pd t=-a P
em que P(t) é a pressão no instante t, e a>0 é uma constante de proporcionalidade. Determine a solução geral P(t) dessa equação diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem, autônoma e separável, que modela a queda da pressão de um gás:
dPdt = -a,P,
onde P(t) é a pressão no instante t e a>0 é constante. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis P e t colocando todos os termos em P de um lado e em t do outro:
dPP = -a,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dPP = integral -a,dt
que resulta em
lnl|Pr| = -a,t + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

Elevamos exponencialmente para isolar P. Como ln|P| = -a,t + C1, temos
|P| = e^-a,t + C1 = e^C1,e^-a,t
Como a pressão pode ser positiva ou negativa em modelos genéricos, absorvemos o sinal e a constante em uma única constante arbitrária C:
P(t) = C,e^-a,t,
onde C é constante determinada pela condição inicial (por exemplo, C = P(0)).

Resposta

P(t) = C,e^-a,t,
com C constante arbitrária.

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