Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando a Regra da Substituição:
\int \frac{1}{(x+3) \sqrt{\ln (x+3)}} d x \quad( considere x>-3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{(x+3)\sqrt{\ln(x+3)}}\,dx
usando a Regra da Substituição. O conteúdo principal aqui é integrar uma função que depende de \ln(x+3) e sua derivada aparece no denominador. Vamos escolher a substituição adequada para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(x+3).
Como \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x+3)\bigr)=\frac{1}{x+3}, temos
du = \frac{1}{x+3}\,dx
ou seja
\frac{1}{x+3}\,dx = du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, note que \sqrt{\ln(x+3)} = \sqrt{u} e \frac{1}{x+3}\,dx = du. Logo
\int \frac{1}{(x+3)\sqrt{\ln(x+3)}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\,du = \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} + C = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = 2\,u^{\tfrac12} + C.
Voltando à variável x, temos u = \ln(x+3), portanto a primitiva é
2\sqrt{\ln(x+3)} + C.

Resposta

2\sqrt{\ln(x+3)} + C.

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