Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem
y^prime(t)+y(t) sec t=tan t,(-pi2

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem y'(t) + y(t)sec t = tan t no intervalo -tfracpi2. O conteúdo aqui é EDO linear de 1ª ordem e vamos precisar do fator integrante para resolver.

Passo 2

Para uma EDO na forma y' + p(t)y = q(t), o fator integrante é dado por mu(t)=expl(integral p(t),dtr). Aqui p(t)=sec t, logo
mu(t)=expl(integralsec t,dtr)=expl(ln|sec t+tan t|r)=sec t+tan t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(t). O lado esquerdo vira derivada do produto mu(t)y e o direito é
l(sec t+tan tr)tan t=sec ttan t+tan^2 t

Passo 4

Assim
ddtl[(sec t+tan t)yr]=sec ttan t+tan^2 t

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integralddtl[(sec t+tan t)yr]dt=(sec t+tan t)y,
integral(sec ttan t+tan^2 t),dt=integralsec ttan t,dt+integraltan^2 t,dt=sec t+l(tan t-tr)+C

Passo 6

Logo temos
(sec t+tan t)y=sec t+tan t - t + C

Passo 7

Agora é só isolar y:
y(t)=sec t+tan t - t + Csec t+tan t

Resposta

y(t)=sec t+tan t - t + Csec t+tan t, CinR

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