Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
no intervalo
. Vamos usar o método do fator integrante para equações lineares.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por
, já que
no intervalo dado. Assim obtemos
ou seja
Passo 3
Agora calculamos o fator integrante
dado por
cobrindo o sinal pois no intervalo
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
resultando em
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, isolamos
:
Passo 7
Esse é o formato geral da solução, com a constante arbitrária
.
Resposta
y(t)=\sin t + C\cos t