Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem
y^prime(t) cos t+y(t) sin t=1(-pi2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(t)cos t + y(t)sin t = 1,
no intervalo -tfracpi2. Vamos usar o método do fator integrante para equações lineares.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por cos t, já que cos tneq0 no intervalo dado. Assim obtemos
y'(t) + y(t)sin tcos t = 1cos t,
ou seja
y' + ytan t = sec t

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante mu(t) dado por
mu(t)=expgl(integraltan t,dtgr)=expl(-ln|cos t|r)=1cos t=sec t,
cobrindo o sinal pois no intervalo cos t>0.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=sec t:
sec t,y' + sec t,tan t,y = sec^2 t
O lado esquerdo é a derivada de sec t,y, pois
ddt(sec t,y)=sec t,y'+(sec t)',y=sec t,y'+sec ttan t,y

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(sec t,y),dt = integral sec^2 t,dt
resultando em
sec t,y = tan t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y(t)=cos t,l(tan t + Cr)=sin t + Ccos t

Passo 7

Esse é o formato geral da solução, com a constante arbitrária C.

Resposta

y(t)=\sin t + C\cos t

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