Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
x^2 y^prime prime-x y^prime+2 y=1+(ln x)^2, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y''-x,y'+2y ;=;1+(ln x)^2, x>0
Aqui vamos usar: (i) a forma geral da solução da parte homogênea de uma equação de Euler–Cauchy, obtida por yh=x^r; (ii) método de coeficientes indeterminados adaptado, tentando um yp polinomial em t=ln x.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea x^2y''-x,y'+2y=0, assumimos
yh = x^r
Substituindo, vem a equação característica
r(r-1)-r+2=0 Longrightarrow r^2-2r+2=0
que tem raízes complexas
r = 1pm i

Passo 3

Pelas raízes 1pm i a solução homogênea é
yh = xl(C1cos(ln x)+C2sin(ln x)r)

Passo 4

Para encontrar um particular, definimos t=ln x e tentamos
yp = a0 + a1 t + a2 t^2
Calculamos
yp' = 1x(a1+2a2 t), yp'' = -a1+2a2-2a2 tx^2
Substituindo em x^2y''-x,y'+2y obtém-se, em função de t,
2a2,t^2+(-4a2+2a1),t+(2a0-2a1+2a2) ;=;1 + t^2
Igualando coeficientes de t^2, t e termo livre, achamos
2a2=1;Rightarrow;a2=tfrac12, -4a2+2a1=0;Rightarrow;a1=1, 2a0-2a1+2a2=1;Rightarrow;a0=1
Logo
yp = 1 + ln x + tfrac12(ln x)^2

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = xl(C1cos(ln x)+C2sin(ln x)r) +1 + ln x + tfrac12(ln x)^2

Resposta

boxedy(x)=xl(C1cos(ln x)+C2sin(ln x)r) +1 + ln x + tfrac12(ln x)^2, C1,C2inR

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