Determine
(1.5pt) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
g(x)=integral1^x^2(t-1) e^t d t
Dica: Teorema Fundamental do Cálculo

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de crescimento e decrescimento de
g(x)=integral1^x^2(t-1)e^t,dt
O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo Parcial combinado com a Regra da Cadeia, pois precisamos derivar uma integral cujo limite superior é x^2.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo Parcial e Regra da Cadeia, a derivada de g é
g'(x)=l[(t-1)e^tr],t=x^2cdotddx(x^2) =2x,(x^2-1),e^x^2

Passo 3

Observamos que e^x^2>0 para todo x. Logo o sinal de g'(x) é o mesmo de
2x,(x^2-1)=2x,(x-1)(x+1)
Os pontos críticos são as raízes de 2x(x-1)(x+1)=0, ou seja, x=-1, x=0 e x=1.

Passo 4

Fazendo a análise de sinal no eixo real dividido em (-infty,-1), (-1,0), (0,1) e (1,infty):
  • Em (-infty,-1): x<0, x-1<0, x+1<0 Rightarrow ;g'(x)<0.
  • Em (-1,0): x<0, x-1<0, x+1>0 Rightarrow ;g'(x)>0.
  • Em (0,1): x>0, x-1<0, x+1>0 Rightarrow ;g'(x)<0.
  • Em (1,infty): x>0, x-1>0, x+1>0 Rightarrow ;g'(x)>0.

Passo 5

Portanto, g é crescente onde g'(x)>0 e decrescente onde g'(x)<0.

Resposta

Crescente em (-1,0)cup(1,infty).
Decrescente em (-infty,-1)cup(0,1).

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