Verifique se a função
é derivável em
x=1 .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é derivável em
x=1 .
Conteúdo envolvido: valores absolutos, definição de derivada como
Conteúdo envolvido: valores absolutos, definição de derivada como
e análise dos limites laterais.
Passo 2
Escrevemos
f de forma “piecewise” próximo de
x=1 , observando o sinal de
1-x^2 :
Em particular, para
x<1 mas próximo de
1 , usa-se
f(x)=1 - x^2 , e para
x>1 próximo de
1 , usa-se
f(x)=x^2 - 1 . Note que
f(1)=0 .
Passo 3
Calculamos a derivada à esquerda de
x=1 usando
hto0^- :
Tomando
hto0^- dá
Passo 4
Calculamos a derivada à direita de
x=1 usando
hto0^+ :
Tomando
hto0^+ dá
Passo 5
Como
os limites laterais não coincidem. Logo, a derivada não existe em
x=1 .
Resposta
A função
f(x)=l|1 - x^2r| não é derivável em
x=1 .