Verifique se a função f(x)=|1-x^2| é derivável em x=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=l|1 - x^2r|
é derivável em x=1.
Conteúdo envolvido: valores absolutos, definição de derivada como
f'(a) = limhto0 f(a+h)-f(a)h,
e análise dos limites laterais.

Passo 2

Escrevemos f de forma “piecewise” próximo de x=1, observando o sinal de 1-x^2:
1 - x^2 >= 0 iff x^2 <= 1 iff |x|<=1 Longrightarrow f(x)=1 - x^2
1 - x^2 < 0 iff |x|>1 Longrightarrow f(x)=x^2 - 1
Em particular, para x<1 mas próximo de 1, usa-se f(x)=1 - x^2, e para x>1 próximo de 1, usa-se f(x)=x^2 - 1. Note que f(1)=0.

Passo 3

Calculamos a derivada à esquerda de x=1 usando hto0^-:
f(1+h) = 1 - (1+h)^2 = 1 - (1 + 2h + h^2) = -2h - h^2,
f(1)=0 Longrightarrow f(1+h)-f(1)h = -2h - h^2h = -2 - h
Tomando hto0^-
f'-(1) = limhto0^-(-2 - h) = -2

Passo 4

Calculamos a derivada à direita de x=1 usando hto0^+:
f(1+h) = (1+h)^2 - 1 = 1 + 2h + h^2 - 1 = 2h + h^2,
f(1+h)-f(1)h = 2h + h^2h = 2 + h
Tomando hto0^+
f'+(1) = limhto0^+(2 + h) = 2

Passo 5

Como
f'-(1) = -2 e f'+(1) = 2,
os limites laterais não coincidem. Logo, a derivada não existe em x=1.

Resposta

A função f(x)=l|1 - x^2r| não é derivável em x=1.

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