Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y''-3x,y'+3y=0
O conteúdo aqui é a equação equidimensional (Euler–Cauchy), em que a substituição típica é
y=x^m,
levando a uma equação algébrica para m.

Passo 2

Fazendo y=x^m temos
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1)x^m-2
Substituindo em
x^2y''-3x,y'+3y=0
vem
x^2l[m(m-1)x^m-2r]-3xl[mx^m-1r]+3x^m=0
Isso simplifica para
m(m-1)x^m-3m,x^m+3x^m=0

Passo 3

Como x^mneq0 (para xneq0), dividimos por x^m e obtemos a equação característica
m(m-1)-3m+3=0 Longrightarrow m^2-4m+3=0
Resolvendo
m^2-4m+3=0
pela fórmula de Bhaskara dá
m=4pmraiz16-122 =4pm22,
isto é,
m1=3, m2=1

Passo 4

Como as raízes m1=3 e m2=1 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é
y(x)=C1,x^m1+C2,x^m2 =C1,x^3+C2,x^1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1x^3+C2x

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