Exercício 3. (Apostol seção 3.17 exercício 5) Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas:
cx+2 y+3 z=8 2 x-y+4 z=7 -y+z=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x + 2y + 3z = 8, 2x - y + 4z = 7, 0cdot x - y + z = 1
usando a regra de Cramer. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & 3 2 & -1 & 4 0 & -1 & 1 ,
e os determinantes Dx,Dy,Dz obtidos ao substituir em A a coluna de x,y,z pelos termos constantes (8,7,1).

Passo 2

Calculemos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!-1&4-1&1 -2cdotdet!2&40&1 +3cdotdet!2&-10&-1
Agora os menores:
det!-1&4-1&1 =(-1)cdot1 - 4cdot(-1)=3,
det!2&40&1 =2cdot1-4cdot0=2,
det!2&-10&-1 =2cdot(-1)-(-1)cdot0=-2
Portanto
det(A)=1cdot3 -2cdot2 +3cdot(-2)=3-4-6=-7

Passo 3

Formamos
Ax= 8 & 2 & 3 7 & -1 & 4 1 & -1 & 1 ,
e calculamos
det(Ax) =8cdotdet!-1&4-1&1 -2cdotdet!7&41&1 +3cdotdet!7&-11&-1
Os menores valem 3, 3 e -6 respectivamente, dando
det(Ax)=8cdot3 -2cdot3 +3cdot(-6)=24 -6 -18=0
Logo
x = det(Ax)det(A) = 0-7 = 0

Passo 4

Substituindo na coluna de y:
Ay= 1 & 8 & 3 2 & 7 & 4 0 & 1 & 1 ,
det(Ay) =1cdotdet!7&41&1 -8cdotdet!2&40&1 +3cdotdet!2&70&1 =1cdot3 -8cdot2 +3cdot2 =3 -16 +6 = -7
Portanto
y = det(Ay)det(A) = -7-7 = 1

Passo 5

Substituindo na coluna de z:
Az= 1 & 2 & 8 2 & -1 & 7 0 & -1 & 1 ,
det(Az) =1cdotdet!-1&7-1&1 -2cdotdet!2&70&1 +8cdotdet!2&-10&-1 =1cdot6 -2cdot2 +8cdot(-2) =6 -4 -16 = -14
Então
z = det(Az)det(A) = -14-7 = 2

Resposta

x = 0,;y = 1,;z = 2

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