Exercício 3. (Apostol seção 3.17 exercício 5) Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas:
cx+y+2 z=0 3 x-y-z=3 2 x+5 y+3 z=4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + y + 2z = 0, 3x - y - z = 3, 2x + 5y + 3z = 4,
e pede a solução (x,y,z) usando a regra de Cramer. Vamos precisar calcular o determinante D da matriz dos coeficientes e os determinantes D1,D2,D3 obtidos ao substituir a coluna dos coeficientes das variáveis pelas constantes do lado direito.

Passo 2

Calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes
D = 1 & 1 & 2 3 & -1 & -1 2 & 5 & 3
Usando a expansão pela primeira linha:
D = 1cdot-1 & -15 & 3 -1cdot3 & -12 & 3 +2cdot3 & -12 & 5
Calculemos cada menor:
-1 & -15 & 3 =(-1)cdot3-(-1)cdot5=2, 3 & -12 & 3 =3cdot3-(-1)cdot2=11, 3 & -12 & 5 =3cdot5-(-1)cdot2=17
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D = 1cdot2 - 1cdot11 + 2cdot17 = 2 - 11 + 34 = 25

Passo 3

Substituímos a primeira coluna pelos termos independentes (0,3,4) para obter D1:
D1 = 0 & 1 & 2 3 & -1 & -1 4 & 5 & 3 =0cdot-1 & -15 & 3 -1cdot3 & -14 & 3 +2cdot3 & -14 & 5
Os menores são
3 & -14 & 3=13, 3 & -14 & 5=19,
portanto
D1 = 0 -1cdot13 + 2cdot19 = -13 + 38 = 25

Passo 4

Substituímos a segunda coluna pelos termos independentes para obter D2:
D2 = 1 & 0 & 2 3 & 3 & -1 2 & 4 & 3 =1cdot3 & -14 & 3 -0cdot3 & -12 & 3 +2cdot3 & 32 & 4
Aqui
3 & -14 & 3=13, 3 & 32 & 4=6,
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D2 = 1cdot13 + 2cdot6 = 13 + 12 = 25

Passo 5

Substituímos a terceira coluna pelos termos independentes para obter D3:
D3 = 1 & 1 & 0 3 & -1 & 3 2 & 5 & 4 =1cdot-1 & 35 & 4 -1cdot3 & 32 & 4 +0cdot3 & -12 & 5
Calculando:
-1 & 35 & 4=-19, 3 & 32 & 4=6,
então
D3 = 1cdot(-19) - 1cdot6 = -19 - 6 = -25

Passo 6

Pela regra de Cramer,
x = D1D = 2525 = 1, y = D2D = 2525 = 1, z = D3D = -2525 = -1

Resposta

(x,y,z) = (1,,1,,-1)

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