Determine uma solução particular
y^{\prime \prime}+9 y=\operatorname{sec} ^{2}(3 x),-\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{6}

Passo 1

O que o problema pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
y'' + 9y = \operatorname{sec}^{2}(3x),\qquad -\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{6}.
Informações dadas e observações importantes:
\text{(i) A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.}çãé
\text{(ii) O termo não-homogêneo é } \operatorname{sec}^{2}(3x).ãêé
\text{(iii) O domínio } \left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right) \text{ garante que } \cos(3x)\neq0 \text{ (pois }3x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\text{).}í
Não se resolve nada aqui; apenas identifiquei o que é pedido e as informações disponíveis.

Passo 2

Escolha do método: o termo \operatorname{sec}^{2}(3x) não é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno multiplicado por polinômios (casos em que o método dos coeficientes indeterminados é direto). Por isso escolhemos o método de variação de parâmetros, que funciona sempre que conhecemos uma base de soluções da equação homogênea associada. Vou aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 3

Resolvemos a equação homogênea associada
y''+9y=0.
Formamos a equação característica r^{2}+9=0 que tem raízes r=\pm 3i. Portanto duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=\cos(3x),\qquad y_{2}(x)=\sin(3x).
Qualquer solução da homogênea é combinação linear de y_{1} e y_{2}.

Passo 4

Calculo do Wronskiano das soluções fundamentais. Primeiro as derivadas:
y_{1}'(x)=-3\sin(3x),\qquad y_{2}'(x)=3\cos(3x).
O Wronskiano é
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} =\cos(3x)\cdot 3\cos(3x)-(-3\sin(3x))\cdot\sin(3x).
Como \cos^2(3x)+\sin^2(3x)=1, obtemos
W(x)=3\big(\cos^{2}(3x)+\sin^{2}(3x)\big)=3.
Observação útil: o Wronskiano é constante igual a 3, o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 5

Fórmulas da variação de parâmetros (na forma prática que vou usar):
definindo g(x)=\operatorname{sec}^{2}(3x), temos
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}.
Substituindo y_{1},y_{2},W e g:
u_{1}'(x)=-\frac{1}{3}\sin(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x),\qquad u_{2}'(x)=\frac{1}{3}\cos(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x).
Simplifico as expressões usando \operatorname{sec}(3x)=1/\cos(3x):
u_{1}'(x)=-\frac{1}{3}\frac{\sin(3x)}{\cos^{2}(3x)}=-\frac{1}{3}\tan(3x)\operatorname{sec}(3x),
u_{2}'(x)=\frac{1}{3}\frac{\cos(3x)}{\cos^{2}(3x)}=\frac{1}{3}\operatorname{sec}(3x).

Passo 6

Integro u_{1}' para obter u_{1}. Para u_{1}' uso a substituição natural v=\operatorname{sec}(3x). Então dv = 3\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx, ou seja \operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx = \dfrac{dv}{3}.
Assim
u_{1}(x)=-\frac{1}{3}\int \tan(3x)\operatorname{sec}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\operatorname{sec}(3x) + C.
Escolhendo a constante de integração igual a zero (já que estamos procurando uma solução particular qualquer), fica
u_{1}(x)=-\frac{1}{9}\operatorname{sec}(3x).

Passo 7

Agora integro u_{2}'(x)=\dfrac{1}{3}\operatorname{sec}(3x). Sei que a primitiva padrão é \displaystyle\int \operatorname{sec}(u)\,du=\ln\big|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\big|+C. Faço a substituição u=3x, du=3dx, então
\int \operatorname{sec}(3x)\,dx=\frac{1}{3}\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big| + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} de u_{2}',
u_{2}(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big| =\frac{1}{9}\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|.
No intervalo dado \left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right) temos \cos(3x)>0, logo o argumento do logaritmo é positivo e as barras de valor absoluto são apenas forma; posso escrever sem problema com ou sem barras.

Passo 8

Construo a solução particular pela combinação
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituindo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}(x)=-\frac{1}{9}\operatorname{sec}(3x)\cos(3x)+\frac{1}{9}\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|\sin(3x).
Como \operatorname{sec}(3x)\cos(3x)=1, simplifico:
y_{p}(x)=-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\sin(3x)\,\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|.

Resposta

y_{p}(x)=-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\sin(3x)\ln\big(\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big)

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