\text{(i) A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.}
\text{(ii) O termo não-homogêneo é } \operatorname{sec}^{2}(3x).
\text{(iii) O domínio } \left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right) \text{ garante que } \cos(3x)\neq0 \text{ (pois }3x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\text{).}
Não se resolve nada aqui; apenas identifiquei o que é pedido e as informações disponíveis.
Passo 2
Escolha do método: o termo \operatorname{sec}^{2}(3x) não é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno multiplicado por polinômios (casos em que o método dos coeficientes indeterminados é direto). Por isso escolhemos o método de variação de parâmetros, que funciona sempre que conhecemos uma base de soluções da equação homogênea associada. Vou aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 3
Resolvemos a equação homogênea associada
y''+9y=0.
Formamos a equação característica r^{2}+9=0 que tem raízes r=\pm 3i. Portanto duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=\cos(3x),\qquad y_{2}(x)=\sin(3x).
Qualquer solução da homogênea é combinação linear de y_{1} e y_{2}.
Passo 4
Calculo do Wronskiano das soluções fundamentais. Primeiro as derivadas:
Integro u_{1}' para obter u_{1}. Para u_{1}' uso a substituição natural v=\operatorname{sec}(3x). Então dv = 3\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx, ou seja \operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx = \dfrac{dv}{3}.
Assim
u_{1}(x)=-\frac{1}{3}\int \tan(3x)\operatorname{sec}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\operatorname{sec}(3x) + C.
Escolhendo a constante de integração igual a zero (já que estamos procurando uma solução particular qualquer), fica
u_{1}(x)=-\frac{1}{9}\operatorname{sec}(3x).
Passo 7
Agora integro u_{2}'(x)=\dfrac{1}{3}\operatorname{sec}(3x). Sei que a primitiva padrão é \displaystyle\int \operatorname{sec}(u)\,du=\ln\big|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\big|+C. Faço a substituição u=3x, du=3dx, então
\int \operatorname{sec}(3x)\,dx=\frac{1}{3}\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big| + C.
No intervalo dado \left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right) temos \cos(3x)>0, logo o argumento do logaritmo é positivo e as barras de valor absoluto são apenas forma; posso escrever sem problema com ou sem barras.